\( [ 2,4 ] \quad f ( x ) = 3 x ^ { 2 } \)

Para encontrar el área bajo la curva de la función \( f(x) = 3x^2 \) en el intervalo \([2, 4]\), necesitamos calcular el integral definida de la función en ese intervalo. La integral definida de una función en un intervalo se calcula como: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \] Donde \( a \) y \( b \) son los límites del intervalo. En este caso, la función es \( f(x) = 3x^2 \) y el intervalo es \([2, 4]\). Por lo tanto, la integral definida que necesitamos calcular es: \[ \int_{2}^{4} 3x^2 \, dx \] Vamos a calcular esta integral para encontrar el área bajo la curva. Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{2}^{4} 3x^{2} dx\) - step1: Evaluate the integral: \(\int 3x^{2} dx\) - step2: Use properties of integrals: \(3\times \int x^{2} dx\) - step3: Evaluate the integral: \(3\times \frac{1}{3}x^{3}\) - step4: Calculate: \(x^{3}\) - step5: Return the limits: \(\left(x^{3}\right)\bigg |_{2}^{4}\) - step6: Calculate the value: \(56\) El área bajo la curva de la función \( f(x) = 3x^2 \) en el intervalo \([2, 4]\) es de 56 unidades cuadradas.