Dados los puntos \( A(1,-1,1), B(-2,3,5) \) y \( C(1,0,-2) \) hallar los ángulos internos del triángulo. Grafique en Geogebra este ejercicio.

Para hallar los ángulos internos del triángulo formado por los puntos \( A(1,-1,1) \), \( B(-2,3,5) \) y \( C(1,0,-2) \), primero necesitamos calcular las longitudes de los lados del triángulo. Los lados del triángulo se pueden calcular usando la fórmula de la distancia entre dos puntos en el espacio tridimensional: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] ### Paso 1: Calcular las longitudes de los lados 1. **Lado \( AB \)**: \[ AB = \sqrt{((-2) - 1)^2 + (3 - (-1))^2 + (5 - 1)^2} \] \[ = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \] 2. **Lado \( BC \)**: \[ BC = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (0 - 3)^2 + (-2 - 5)^2} \] \[ = \sqrt{(3)^2 + (-3)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 9 + 49} = \sqrt{67} \] 3. **Lado \( CA \)**: \[ CA = \sqrt{(1 - 1)^2 + (0 - (-1))^2 + (-2 - 1)^2} \] \[ = \sqrt{(0)^2 + (1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{0 + 1 + 9} = \sqrt{10} \] ### Paso 2: Usar la ley de cosenos para encontrar los ángulos La ley de cosenos establece que para un triángulo con lados \( a \), \( b \), y \( c \) opuestos a los ángulos \( A \), \( B \), y \( C \) respectivamente: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \] Podemos usar esta fórmula para encontrar los ángulos \( A \), \( B \), y \( C \). 1. **Ángulo \( A \)** (opuesto al lado \( BC \)): \[ \cos(A) = \frac{AB^2 + CA^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot CA} \] \[ = \frac{(\sqrt{41})^2 + (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{67})^2}{2 \cdot \sqrt{41} \cdot \sqrt{10}} = \frac{41 + 10 - 67}{2 \cdot \sqrt{41} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-16}{2 \cdot \sqrt{410}} = \frac{-8}{\sqrt{410}} \] \[ A = \cos^{-1}\left(\frac{-8}{\sqrt{410}}\right) \] 2. **Ángulo \( B \)** (opuesto al lado \( CA \)): \[ \cos(B) = \frac{BC^2 + AB^2 - CA^2}{2 \cdot BC \cdot AB} \] \[ = \frac{(\sqrt{67})^2 + (\sqrt{41})^2 - (\sqrt{10})^2}{2 \cdot \sqrt{67} \cdot \sqrt{41}} = \frac{67 + 41 - 10}{2 \cdot \sqrt{67} \cdot \sqrt{41}} = \frac{98}{2 \cdot \sqrt{67 \cdot 41}} = \frac{49}{\sqrt{67 \cdot 41}} \] \[ B = \cos^{-1}\left(\frac{49}{\sqrt{67 \cdot 41}}\right) \] 3. **Ángulo \( C \)** (opuesto al lado \( AB \)): \[ \cos(C) = \frac{CA^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot CA \cdot BC} \] \[ = \frac{(\sqrt{10})^2 +