(1) \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{3}+5 x^{2}+2 x^{3}}{5 x^{3}-3 x^{2}+2 x-1} \) (2) \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x+3}{3 x+1} \) (3) \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{6}-2 x^{7}-5 x^{8}}{3 x^{6}+2 x^{2}-5 x-1} \) \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+2 x+4}{3 x^{2}+5} \)

Vamos a calcular los límites uno por uno. (1) Para el límite \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{3}+5 x^{2}+2 x^{3}}{5 x^{3}-3 x^{2}+2 x-1} \): Primero, simplificamos la expresión: \[ \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(3 + 2)x^{3} + 5 x^{2}}{5 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 x^{3} + 5 x^{2}}{5 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1} \] Dividimos el numerador y el denominador por \( x^{3} \): \[ = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 + \frac{5}{x}}{5 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}} \] Cuando \( x \) tiende a infinito, los términos que contienen \( \frac{1}{x} \) tienden a 0: \[ = \frac{5 + 0}{5 - 0 + 0 - 0} = \frac{5}{5} = 1 \] Por lo tanto, el límite es \( 1 \). (2) Para el límite \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x+3}{3 x+1} \): Dividimos el numerador y el denominador por \( x \): \[ = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{3 + \frac{1}{x}} \] Cuando \( x \) tiende a infinito, los términos que contienen \( \frac{1}{x} \) tienden a 0: \[ = \frac{2 + 0}{3 + 0} = \frac{2}{3} \] Por lo tanto, el límite es \( \frac{2}{3} \). (3) Para el límite \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{6}-2 x^{7}-5 x^{8}}{3 x^{6}+2 x^{2}-5 x-1} \): Primero, identificamos el término de mayor grado en el numerador y el denominador. En el numerador, el término de mayor grado es \( -5 x^{8} \) y en el denominador es \( 3 x^{6} \). Dividimos el numerador y el denominador por \( x^{8} \): \[ = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-5 + \frac{-2}{x} + \frac{-5}{x^{2}}}{\frac{3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{6}} - \frac{5}{x^{7}} - \frac{1}{x^{8}}} \] Cuando \( x \) tiende a infinito, los términos que contienen \( \frac{1}{x} \) tienden a 0: \[ = \frac{-5 + 0 + 0}{0 + 0 - 0 - 0} = \text{indeterminado} \] Sin embargo, dado que el numerador tiende a \( -5 \) y el denominador tiende a \( 0 \) (positivo), el límite tiende a \( -\infty \). Por lo tanto, el límite es \( -\infty \). (4) Para el límite \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+2 x+4}{3 x^{2}+5} \): El término de mayor grado en el numerador es \( x^{3} \) y en el denominador es \( 3 x^{2} \). Dividimos el numerador y el denominador por \( x^{3} \): \[ = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1 + \frac{2}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{3}{x} + \frac{5}{x^{3}}} \] Cuando \( x \) tiende a infinito, los términos que contienen \( \frac{1}{x} \) tienden a 0: \[ = \frac{1 + 0 + 0}{0 + 0} = \text{indeterminado} \] Sin embargo, dado que el numerador tiende a \( 1 \) y el denominador tiende a \( 0 \) (positivo), el límite tiende a \( +\infty \). Por lo tanto, el límite es \( +\infty \). Resumiendo: 1. \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{3}+5 x^{2}+2 x^{3}}{5 x^{3}-3 x^{2}+2 x-1} = 1 \) 2. \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x+3}{3 x+1} = \frac{2}{3} \) 3. \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{6}-2 x^{7}-5 x^{8}}{3 x^{6}+2 x^{2}-5 x-1} = -\infty \) 4. \( \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+2 x+4}{3 x^{2}+5} = +\infty \)