\( \left. \begin{array} { l }{ E ( S ^ { 2 } ) = E ( \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } X _ { i } ^ { 2 } - \overline { X } ^ { 2 } ) } \\ { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } E ( X _ { i } ^ { 2 } ) - E ( \overline { X } ^ { 2 } ) } \\ { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } E ( X ^ { 2 } ) - E ( \overline { X } ^ { 2 } ) } \\ { = E ( X ^ { 2 } ) - E ( \overline { X } ^ { 2 } ) } \\ { = [ V ( X ) + ( E ( X ) ) ^ { 2 } ] - [ V ( \overline { X } ) + ( E ( \overline { X } ) ) ^ { 2 } ] } \\ { = [ \sigma ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ] - [ \frac { \sigma ^ { 2 } } { n } + \mu ^ { 2 } ] } \\ { = \sigma ^ { 2 } - \frac { \sigma ^ { 2 } } { n } } \\ { = \frac { n - 1 } { n } \sigma ^ { 2 } } \end{array} \right. \)
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