4. LíMITES INDETERMINADфS Resultado de Aprendizaje: Calcula e interpreta el límite de una función mediante el uso de procesos algebraicos como: factorización, simplificación y racionalización, en contextos propios de la matemática. Calcule los límites dados: \[ \begin{array}{ll}\text { a. } \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}+x-6}{x^{2}-9} & \text { b. } \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-10 x-25}{x^{2}-4 x-5}\end{array} \]

Para calcular los límites indeterminados que se presentan, utilizaremos procesos algebraicos como factorización y simplificación. ### a. \(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}+x-6}{x^{2}-9}\) Primero, evaluamos el límite sustituyendo \(x = 3\): \[ \frac{3^{2} + 3 - 6}{3^{2} - 9} = \frac{9 + 3 - 6}{9 - 9} = \frac{6}{0} \] Esto nos da una forma indeterminada, así que procedemos a factorizar el numerador y el denominador. **Numerador:** \[ x^{2} + x - 6 = (x - 2)(x + 3) \] **Denominador:** \[ x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3) \] Sustituyendo estas factorizaciones en el límite, tenemos: \[ \lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} \] Ahora, podemos cancelar el factor común \((x + 3)\): \[ \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x - 2}{x - 3} \] Ahora evaluamos el límite sustituyendo \(x = 3\): \[ \frac{3 - 2}{3 - 3} = \frac{1}{0} \] Esto indica que el límite tiende a \(\infty\) o \(-\infty\). Para determinar la dirección, evaluamos el límite desde la izquierda y la derecha: - Si \(x \to 3^{-}\) (desde la izquierda), \(x - 3 < 0\) y el límite tiende a \(-\infty\). - Si \(x \to 3^{+}\) (desde la derecha), \(x - 3 > 0\) y el límite tiende a \(+\infty\). Por lo tanto, el límite no existe en el sentido clásico, pero podemos decir que: \[ \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}+x-6}{x^{2}-9} = \text{no existe (tiende a } -\infty \text{ o } +\infty\text{)} \] ### b. \(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-10x-25}{x^{2}-4x-5}\) Primero, evaluamos el límite sustituyendo \(x = 3\): \[ \frac{3^{2} - 10 \cdot 3 - 25}{3^{2} - 4 \cdot 3 - 5} = \frac{9 - 30 - 25}{9 - 12 - 5} = \frac{-46}{-8} = \frac{46}{8} = \frac{23}{4} \] Dado que no hemos encontrado una forma indeterminada, el límite se puede calcular directamente: \[ \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-10x-25}{x^{2}-4x-5} = \frac{23}{4} \] ### Resumen de los resultados: a. \(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}+x-6}{x^{2}-9} = \text{no existe}\) b. \(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-10x-25}{x^{2}-4x-5} = \frac{23}{4}\)