Find the area between the curves. \[ x=-5, x=3, y=2 x^{2}+12, y=0 \]

要找到曲线之间的面积，我们需要计算在给定区间内两个函数之间的积分。具体步骤如下： ### 步骤 1：确定积分区间和函数 给定的曲线是： - \( x = -5 \) - \( x = 3 \) - \( y = 2x^2 + 12 \) - \( y = 0 \) ### 步骤 2：设置积分表达式 我们需要计算在 \( x = -5 \) 到 \( x = 3 \) 之间，函数 \( y = 2x^2 + 12 \) 和 \( y = 0 \) 之间的面积。面积可以通过以下积分表示： \[ \text{面积} = \int_{-5}^{3} (2x^2 + 12 - 0) \, dx \] ### 步骤 3：计算不定积分 首先，我们计算 \( 2x^2 + 12 \) 的不定积分： \[ \int (2x^2 + 12) \, dx = \int 2x^2 \, dx + \int 12 \, dx \] \[ = 2 \int x^2 \, dx + 12 \int 1 \, dx \] \[ = 2 \left( \frac{x^3}{3} \right) + 12x \] \[ = \frac{2x^3}{3} + 12x \] ### 步骤 4：计算定积分 接下来，我们计算定积分在 \( x = -5 \) 到 \( x = 3 \) 之间的值： \[ \left[ \frac{2x^3}{3} + 12x \right]_{-5}^{3} \] 将上限 \( x = 3 \) 代入： \[ \left( \frac{2(3)^3}{3} + 12(3) \right) = \left( \frac{2 \cdot 27}{3} + 36 \right) = \left( 18 + 36 \right) = 54 \] 将下限 \( x = -5 \) 代入： \[ \left( \frac{2(-5)^3}{3} + 12(-5) \right) = \left( \frac{2 \cdot (-125)}{3} - 60 \right) = \left( -\frac{250}{3} - 60 \right) = -\frac{250}{3} - \frac{180}{3} = -\frac{430}{3} \] ### 步骤 5：计算面积 最后，我们计算两个值之间的差： \[ \text{面积} = 54 - \left( -\frac{430}{3} \right) = 54 + \frac{430}{3} = \frac{162}{3} + \frac{430}{3} = \frac{592}{3} \] 所以，曲线之间的面积是： \[ \boxed{\frac{592}{3}} \]