6 Dados los subconjuntos \( R_{1}, R_{2} \) de \( \mathbb{R}^{3} \), de- finidos como \( R_{1}=\{\vec{x}=t(4,5,-1) \mid t \in \mathbb{R}\} \) \( R_{2}=\left\{\left.\vec{x}=s\left(-1,-\frac{5}{4}, \frac{1}{4}\right) \right\rvert\, s \in \mathbb{R}\right\} \) Prueba que \( R_{1}, R_{2} \) representan la misma recta \( R \), es decir, \( R_{1}=R_{2} \)

Para demostrar que los subconjuntos \( R_{1} \) y \( R_{2} \) representan la misma recta \( R \), debemos mostrar que ambos conjuntos son equivalentes, es decir, que cualquier vector en \( R_{1} \) puede expresarse como un vector en \( R_{2} \) y viceversa. 1. **Descripción de \( R_{1} \)**: \[ R_{1} = \{ \vec{x} = t(4, 5, -1) \mid t \in \mathbb{R} \} \] Esto significa que cualquier vector en \( R_{1} \) puede escribirse como: \[ \vec{x} = (4t, 5t, -t) \] 2. **Descripción de \( R_{2} \)**: \[ R_{2} = \left\{ \vec{x} = s\left(-1, -\frac{5}{4}, \frac{1}{4}\right) \mid s \in \mathbb{R} \right\} \] Esto significa que cualquier vector en \( R_{2} \) puede escribirse como: \[ \vec{x} = \left(-s, -\frac{5}{4}s, \frac{1}{4}s\right) \] 3. **Encontrar una relación entre los parámetros**: Para mostrar que \( R_{1} = R_{2} \), necesitamos encontrar una relación entre \( t \) y \( s \) que permita expresar un vector de \( R_{1} \) en términos de \( R_{2} \) y viceversa. Observemos que el vector \( (4, 5, -1) \) en \( R_{1} \) y el vector \( \left(-1, -\frac{5}{4}, \frac{1}{4}\right) \) en \( R_{2} \) son proporcionales. Para encontrar la relación, podemos escribir: \[ \left(-1, -\frac{5}{4}, \frac{1}{4}\right) = k(4, 5, -1) \] para algún escalar \( k \). Resolviendo para \( k \): - Para la primera componente: \[ -1 = 4k \implies k = -\frac{1}{4} \] - Para la segunda componente: \[ -\frac{5}{4} = 5k \implies k = -\frac{1}{4} \] - Para la tercera componente: \[ \frac{1}{4} = -k \implies k = -\frac{1}{4} \] Como \( k = -\frac{1}{4} \) es consistente en todas las componentes, podemos concluir que: \[ \left(-1, -\frac{5}{4}, \frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{4}(4, 5, -1) \] 4. **Relación entre \( t \) y \( s \)**: Si tomamos \( s = -4t \), entonces: \[ \vec{x} = t(4, 5, -1) \implies \vec{x} = -\frac{1}{4}s(-1, -\frac{5}{4}, \frac{1}{4}) \] Esto muestra que cualquier vector en \( R_{1} \) puede ser expresado como un vector en \( R_{2} \). 5. **Conclusión**: Dado que hemos encontrado una relación entre los parámetros \( t \) y \( s \) que permite expresar un vector de \( R_{1} \) en términos de \( R_{2} \) y viceversa, concluimos que: \[ R_{1} = R_{2} \] Por lo tanto, \( R_{1} \) y \( R_{2} \) representan la misma recta \( R \).