Soit la matrice \( A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right) \) 1. Vérifier que \( A^{2}=A+2 f \). En déduire que \( A \) est inversible et déterminer son inverse.

Pour vérifier que \( A^2 = A + 2I \), nous allons d'abord calculer \( A^2 \). La matrice \( A \) est donnée par : \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] Calculons \( A^2 = A \cdot A \) : \[ A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] Calculons chaque élément de \( A^2 \) : - Pour l'élément \( (1,1) \) : \[ 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 + 1 + 1 = 2 \] - Pour l'élément \( (1,2) \) : \[ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1 \] - Pour l'élément \( (1,3) \) : \[ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 + 1 + 0 = 1 \] - Pour l'élément \( (2,1) \) : \[ 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 + 0 + 1 = 1 \] - Pour l'élément \( (2,2) \) : \[ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 + 0 + 1 = 2 \] - Pour l'élément \( (2,3) \) : \[ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1 + 0 + 0 = 1 \] - Pour l'élément \( (3,1) \) : \[ 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 0 + 1 + 0 = 1 \] - Pour l'élément \( (3,2) \) : \[ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 1 + 0 + 0 = 1 \] - Pour l'élément \( (3,3) \) : \[ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 + 1 + 0 = 2 \] En rassemblant tous ces éléments, nous obtenons : \[ A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] Maintenant, calculons \( A + 2I \) où \( I \) est la matrice identité : \[ 2I = 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] Donc, \[ A + 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] Nous avons donc : \[ A^2 = A + 2I \] Cela prouve que