Para identificar qué tipo de concavidad tendrá la función cubica $$ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{a} \boldsymbol{x}^{3}+\boldsymbol{b} \boldsymbol{x}^{2}+\boldsymbol{c x}+\boldsymbol{d} $$., basta con verificar las siguientes condiciones. a) Si $$ \boldsymbol{a}\mathbf{0} $$, la sección de la izquierda es cóncava, intervalo $$ \left(-\infty, \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{P}_{i}\right)\right] $$ y la sección de la derecha es convexa, intervalo $$ \left[\boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{P}_{\boldsymbol{i}}\right), \infty\right) $$. La expresión $$ \boldsymbol{x}(\boldsymbol{P} \boldsymbol{i}) $$ significa la abscisa del punto de inflexión $$ \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{i}} $$. La sección cóncava puede tener un máximo y la sección convexa un mínimo. Un caso que no tiene máximo ni mínimo es $$ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{a} \boldsymbol{x}^{3}+\boldsymbol{d} $$ pero sí tiene punto de inflexión. b) b) Si $$ \boldsymbol{a}

Question

Para identificar qué tipo de concavidad tendrá la función cubica $$ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{a} \boldsymbol{x}^{3}+\boldsymbol{b} \boldsymbol{x}^{2}+\boldsymbol{c x}+\boldsymbol{d} $$., basta con verificar las siguientes condiciones. a) Si $$ \boldsymbol{a}>\mathbf{0} $$, la sección de la izquierda es cóncava, intervalo $$ \left(-\infty, \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{P}_{i}\right)\right] $$ y la sección de la derecha es convexa, intervalo $$ \left[\boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{P}_{\boldsymbol{i}}\right), \infty\right) $$. La expresión $$ \boldsymbol{x}(\boldsymbol{P} \boldsymbol{i}) $$ significa la abscisa del punto de inflexión $$ \boldsymbol{P}_{\boldsymbol{i}} $$. La sección cóncava puede tener un máximo y la sección convexa un mínimo. Un caso que no tiene máximo ni mínimo es $$ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{a} \boldsymbol{x}^{3}+\boldsymbol{d} $$ pero sí tiene punto de inflexión. b) b) Si $$ \boldsymbol{a}<\mathbf{0} $$, la sección de la izquierda es convexa, intervalo $$ \left(-\infty, \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{P}_{i}\right)\right] $$ y la sección de la derecha es cóncava, intervalo $$ \left[\boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{P}_{\boldsymbol{i}}\right), \infty\right) $$. Al igual que en el caso anterior, la cóncava puede tener un máximo y la convexa un mínimo.

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Para identificar la concavidad de la función cubica $$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$, verifica: a) Si $$ a > 0 $$, la izquierda es cóncava y la derecha convexa. b) Si $$ a < 0 $$, la izquierda es convexa y la derecha cóncava. El punto de inflexión $$ x(P_i) $$ se encuentra resolviendo $$ 6ax + 2b = 0 $$.

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