45) Esceva as \( 4^{\prime} \) tuman da PG em que a) \( a_{1}=\sqrt{7} \) eq \( =4 \sqrt{7} \quad \) blas \( =\frac{1}{40} \)

Para resolver o problema, vamos considerar que estamos lidando com uma progressão geométrica (PG) onde: - O primeiro termo \( a_1 = \sqrt{7} \) - O último termo \( a_n = 4\sqrt{7} \) - A razão \( r = \frac{1}{40} \) A fórmula do enésimo termo de uma PG é dada por: \[ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \] Substituindo os valores que temos: \[ 4\sqrt{7} = \sqrt{7} \cdot \left(\frac{1}{40}\right)^{n-1} \] Dividindo ambos os lados da equação por \( \sqrt{7} \): \[ 4 = \left(\frac{1}{40}\right)^{n-1} \] Agora, vamos reescrever \( 4 \) como uma potência de \( \frac{1}{40} \): \[ 4 = \left(\frac{1}{40}\right)^{-2} \] Assim, temos: \[ \left(\frac{1}{40}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{40}\right)^{-2} \] Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes: \[ n - 1 = -2 \] Resolvendo para \( n \): \[ n = -2 + 1 = -1 \] Parece que houve um erro, pois \( n \) deve ser um número positivo. Vamos revisar a equação: Na verdade, a relação correta é: \[ 4 = \left(\frac{1}{40}\right)^{-(n-1)} \] Isso implica que: \[ n - 1 = 2 \implies n = 3 \] Portanto, a PG tem 3 termos. Agora, vamos calcular os termos da PG: 1. \( a_1 = \sqrt{7} \) 2. \( a_2 = a_1 \cdot r = \sqrt{7} \cdot \frac{1}{40} = \frac{\sqrt{7}}{40} \) 3. \( a_3 = a_2 \cdot r = \frac{\sqrt{7}}{40} \cdot \frac{1}{40} = \frac{\sqrt{7}}{1600} \) Assim, os termos da PG são: - \( a_1 = \sqrt{7} \) - \( a_2 = \frac{\sqrt{7}}{40} \) - \( a_3 = \frac{\sqrt{7}}{1600} \) Portanto, a PG é: \[ \sqrt{7}, \frac{\sqrt{7}}{40}, \frac{\sqrt{7}}{1600} \]