24. Si \( A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right), C\left(x_{3}, y_{3}\right) \) y \( D\left(x_{4}, y_{4}\right) \) son vértices de un cuadrilátero arbitrario, de- muestre que los segmentos de recta que unen los puntos medios de los lados adyacentes forman un paralelogramo.

Para demostrar que los segmentos de recta que unen los puntos medios de los lados adyacentes de un cuadrilátero forman un paralelogramo, consideremos los puntos medios de los lados del cuadrilátero \(ABCD\). 1. **Identificación de los puntos medios**: - Sea \(M_1\) el punto medio del lado \(AB\): \[ M_1 = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] - Sea \(M_2\) el punto medio del lado \(BC\): \[ M_2 = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right) \] - Sea \(M_3\) el punto medio del lado \(CD\): \[ M_3 = \left( \frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} \right) \] - Sea \(M_4\) el punto medio del lado \(DA\): \[ M_4 = \left( \frac{x_4 + x_1}{2}, \frac{y_4 + y_1}{2} \right) \] 2. **Demostración de que \(M_1M_3\) y \(M_2M_4\) son segmentos opuestos**: - Calculemos el vector que representa el segmento \(M_1M_3\): \[ M_1M_3 = M_3 - M_1 = \left( \frac{x_3 + x_4}{2} - \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} - \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] \[ = \left( \frac{x_3 + x_4 - x_1 - x_2}{2}, \frac{y_3 + y_4 - y_1 - y_2}{2} \right) \] - Ahora calculemos el vector que representa el segmento \(M_2M_4\): \[ M_2M_4 = M_4 - M_2 = \left( \frac{x_4 + x_1}{2} - \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_4 + y_1}{2} - \frac{y_2 + y_3}{2} \right) \] \[ = \left( \frac{x_4 + x_1 - x_2 - x_3}{2}, \frac{y_4 + y_1 - y_2 - y_3}{2} \right) \] 3. **Verificación de que los segmentos son paralelos**: - Para que \(M_1M_3\) y \(M_2M_4\) sean paralelos, debemos demostrar que sus vectores son proporcionales. Observamos que: \[ M_1M_3 = \left( \frac{x_3 + x_4 - x_1 - x_2}{2}, \frac{y_3 + y_4 - y_1 - y_2}{2} \right) \] \[ M_2M_4 = \left( \frac{x_4 + x_1 - x_2 - x_3}{2}, \frac{y_4 + y_1 - y_2 - y_3}{2} \right) \] - Notamos que: \[ M_2M_4 = -M_1M_3 \] - Esto implica que los segmentos \(M_1M_3\) y \(M_2M_4\) son paralelos y de igual longitud. 4. **Demostración de que \(M_1M_2\) y \(M_3M_4\) son segmentos opuestos**: - Calculemos el vector que representa el segmento \(M_1M_2\): \[ M_1M_2 = M_2 - M_1 = \left( \frac{x_2 + x_3}{2} - \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} - \