Trazar el gráfico de todas las asíntotas de la función racional. \[ f(x)=\frac{-4 x^{2}-8 x+5}{2 x+1} \]

Para trazar el gráfico de todas las asíntotas de la función racional \( f(x)=\frac{-4 x^{2}-8 x+5}{2 x+1} \), primero identificamos las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. ### Asintotas Verticales Las asíntotas verticales ocurren cuando el denominador de la función se hace cero, ya que en esos puntos la función se hace infinita. Para encontrar las asíntotas verticales, resolvemos la ecuación del denominador: \[ 2x + 1 = 0 \] \[ x = -\frac{1}{2} \] Por lo tanto, \( x = -\frac{1}{2} \) es una asíntota vertical. ### Asintotas Horizontales Las asíntotas horizontales se encuentran al calcular el límite de la función cuando \( x \) se hace infinito. Para encontrar la asíntota horizontal, calculamos los límites superior e inferior: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{-4x^2 - 8x + 5}{2x + 1} \] Dividimos cada término de la numeradora y el denominador por \( x^2 \): \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{-4 - \frac{8}{x} + \frac{5}{x^2}}{2 \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} \] Al tomar el límite cuando \( x \to \infty \), los términos con \( \frac{1}{x} \) y \( \frac{1}{x^2} \) se hacen cero: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{-4}{0} \] Este límite no existe, lo que significa que no hay una asíntota horizontal. ### Asintotas Oblicuas Para encontrar la asíntota oblicua, calculamos el límite de la función cuando \( x \to \infty \) y simplificamos: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{-4x^2 - 8x + 5}{2x + 1} \] Dividimos cada término de la numeradora y el denominador por \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{-4x - \frac{8}{x} + \frac{5}{x^2}}{2 + \frac{1}{x}} \] Al tomar el límite cuando \( x \to \infty \), los términos con \( \frac{1}{x} \) y \( \frac{1}{x^2} \) se hacen cero: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{-4x}{2} = -2x \] Este límite no existe, lo que significa que no hay una asíntota oblicua. ### Gráfico Con esta información, podemos trazar el gráfico de la función. La función tendrá una asíntota vertical en \( x = -\frac{1}{2} \), no tendrá asíntota horizontal ni oblicua, y su comportamiento cuando \( x \) se hace muy grande o muy pequeño será determinado por el comportamiento de la numeradora y el denominador. Aquí tienes una representación gráfica de la función: \[ \text{Gráfico de } f(x) = \frac{-4 x^{2}-8 x+5}{2 x+1} \] Puedes usar un software de gráficos o una calculadora gráfica para visualizarlo.