1. Evalúa las siguientes funciones: a) Si \( f(x)=\frac{2 x-1}{2 x+1} \), determina \( f\left(\frac{1}{3}\right), f\left(\frac{-1}{2}\right), f \frac{(x+h)-f(x)}{h} \)

Para evaluar la función \( f(x) = \frac{2x - 1}{2x + 1} \), procederemos a calcular los valores solicitados. ### a) Evaluación de \( f\left(\frac{1}{3}\right) \) Sustituyendo \( x = \frac{1}{3} \) en la función: \[ f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2\left(\frac{1}{3}\right) - 1}{2\left(\frac{1}{3}\right) + 1} \] Calculamos el numerador y el denominador: \[ = \frac{\frac{2}{3} - 1}{\frac{2}{3} + 1} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{3}{3}}{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}} = \frac{\frac{-1}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{-1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{-1}{5} \] Por lo tanto, \[ f\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{5} \] ### b) Evaluación de \( f\left(\frac{-1}{2}\right) \) Sustituyendo \( x = -\frac{1}{2} \) en la función: \[ f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\left(-\frac{1}{2}\right) - 1}{2\left(-\frac{1}{2}\right) + 1} \] Calculamos el numerador y el denominador: \[ = \frac{-1 - 1}{-1 + 1} = \frac{-2}{0} \] Esto indica que la función no está definida en \( x = -\frac{1}{2} \) porque el denominador se vuelve cero. Por lo tanto, \[ f\left(-\frac{1}{2}\right) \text{ no está definida.} \] ### c) Cálculo de \( \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \) Primero, necesitamos calcular \( f(x+h) \): \[ f(x+h) = \frac{2(x+h) - 1}{2(x+h) + 1} = \frac{2x + 2h - 1}{2x + 2h + 1} \] Ahora, calculamos \( f(x+h) - f(x) \): \[ f(x+h) - f(x) = \frac{2x + 2h - 1}{2x + 2h + 1} - \frac{2x - 1}{2x + 1} \] Para restar estas fracciones, encontramos un denominador común: \[ = \frac{(2x + 2h - 1)(2x + 1) - (2x - 1)(2x + 2h + 1)}{(2x + 2h + 1)(2x + 1)} \] Ahora, expandimos el numerador: 1. Expansión de \( (2x + 2h - 1)(2x + 1) \): \[ = 4x^2 + 2x + 4xh + 2h - 2x - 1 = 4x^2 + 4xh + 2h - 1 \] 2. Expansión de \( (2x - 1)(2x + 2h + 1) \): \[ = 4x^2 + 4xh + 2x - 2x - 1 = 4x^2 + 4xh - 1 \] Ahora, restamos: \[ (4x^2 + 4xh + 2h - 1) - (4x^2 + 4xh - 1) = 2h \] Por lo tanto, tenemos: \[ f(x+h) - f(x) = \frac{2h}{(2x + 2h + 1)(2x + 1)} \] Finalmente, dividimos por \( h \): \[ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{2}{(2x + 2h + 1)(2x + 1)} \] Así que la respuesta final es: \[ \frac{f(x+h) - f(x)}{