Combine y simplifique la expresión 5. \( x /(2 x+3)-3 /\left(4 x^{2}-3 x-1\right)+(4 x+1) /\left(2 x^{2}+x-3\right) \)

Para combinar y simplificar la expresión \[ \frac{x}{2x+3} - \frac{3}{4x^2 - 3x - 1} + \frac{4x + 1}{2x^2 + x - 3}, \] primero, factorizaremos los denominadores. 1. **Factorizar \(4x^2 - 3x - 1\)**: Para factorizar \(4x^2 - 3x - 1\), buscamos dos números que multiplicados den \(4 \cdot (-1) = -4\) y sumados den \(-3\). Estos números son \(-4\) y \(1\). Entonces, podemos escribir: \[ 4x^2 - 4x + x - 1 = 4x(x - 1) + 1(x - 1) = (4x + 1)(x - 1). \] 2. **Factorizar \(2x^2 + x - 3\)**: Para \(2x^2 + x - 3\), buscamos dos números que multiplicados den \(2 \cdot (-3) = -6\) y sumados den \(1\). Estos números son \(3\) y \(-2\). Entonces, podemos escribir: \[ 2x^2 + 3x - 2x - 3 = x(2x + 3) - 1(2x + 3) = (2x + 3)(x - 1). \] Ahora, reescribimos la expresión original con los denominadores factorizados: \[ \frac{x}{2x + 3} - \frac{3}{(4x + 1)(x - 1)} + \frac{4x + 1}{(2x + 3)(x - 1)}. \] 3. **Encontrar un denominador común**: El denominador común será \((2x + 3)(4x + 1)(x - 1)\). 4. **Reescribir cada fracción con el denominador común**: - Para la primera fracción: \[ \frac{x}{2x + 3} = \frac{x(4x + 1)(x - 1)}{(2x + 3)(4x + 1)(x - 1)}. \] - Para la segunda fracción: \[ -\frac{3}{(4x + 1)(x - 1)} = -\frac{3(2x + 3)}{(2x + 3)(4x + 1)(x - 1)}. \] - Para la tercera fracción: \[ \frac{4x + 1}{(2x + 3)(x - 1)} = \frac{(4x + 1)(4x + 1)}{(2x + 3)(4x + 1)(x - 1)}. \] 5. **Combinar las fracciones**: Ahora sumamos las fracciones: \[ \frac{x(4x + 1)(x - 1) - 3(2x + 3) + (4x + 1)(4x + 1)}{(2x + 3)(4x + 1)(x - 1)}. \] 6. **Simplificar el numerador**: Expandimos el numerador: - \(x(4x + 1)(x - 1) = 4x^2(x - 1) + x(x - 1) = 4x^3 - 4x^2 + x^2 - x = 4x^3 - 3x^2 - x\). - \(-3(2x + 3) = -6x - 9\). - \((4x + 1)(4x + 1) = 16x^2 + 8x + 1\). Sumamos todo: \[ 4x^3 - 3x^2 - x - 6x - 9 + 16x^2 + 8x + 1 = 4x^3 + (16x^2 - 3x^2) + (-x - 6x + 8x) + (-9 + 1) = 4x^3 + 13x^2 + x - 8. \] 7. **Resultado final**: La expresión simplificada es: \[ \frac{4x^3 + 13x^2 + x - 8}{(2x + 3)(4