Aproxime la integral definida \( \int_{1}^{5} \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x}} d x \) mediante la suma de \( \because \quad \) Riemann por punto izquierdo, con \( n=6 \)

Calculate the integral \( \int_{1}^{5} \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x}} dx \). Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int_{1}^{5} \frac{5x^{2}}{\sqrt{x}} dx\) - step1: Evaluate the power: \(\int_{1}^{5} \frac{5x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} dx\) - step2: Simplify the expression: \(\int_{1}^{5} 5x^{\frac{3}{2}} dx\) - step3: Evaluate the integral: \(\int 5x^{\frac{3}{2}} dx\) - step4: Use properties of integrals: \(5\times \int x^{\frac{3}{2}} dx\) - step5: Evaluate the integral: \(5\times \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}\) - step6: Calculate: \(2x^{\frac{5}{2}}\) - step7: Return the limits: \(\left(2x^{\frac{5}{2}}\right)\bigg |_{1}^{5}\) - step8: Calculate the value: \(2\times 5^{\frac{5}{2}}-2\) - step9: Transform the expression: \(2\times 25\sqrt{5}-2\) - step10: Simplify: \(50\sqrt{5}-2\) La integral definida \( \int_{1}^{5} \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x}} dx \) es igual a \( 50\sqrt{5}-2 \). Ahora, vamos a aproximar esta integral mediante la suma de Riemann por punto izquierdo con \( n=6 \). Para hacer esto, primero necesitamos encontrar el ancho de cada subintervalo, que se calcula como \( \Delta x = \frac{b-a}{n} \), donde \( a=1 \), \( b=5 \) y \( n=6 \). Calculamos el ancho de cada subintervalo: \[ \Delta x = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Ahora, calculamos la suma de Riemann por punto izquierdo con \( n=6 \): \[ \sum_{i=1}^{6} f(x_i) \Delta x \] Donde \( x_i = a + (i-1) \Delta x \) y \( f(x) = \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x}} \). Calculamos los valores de \( x_i \) y \( f(x_i) \) para cada \( i \) y luego multiplicamos por \( \Delta x \) para obtener la suma de Riemann por punto izquierdo.