A un paciente se le administra un medicamen- to. Para un periodo de \( 0 \leq t \leq 7 \), la concentra- cion de la droga en su sangre después del ini- cio del tratamiento viene dado por la expresión \( D(t)=-5 t^{2}+34 t+15 \mathrm{mg} / \mathrm{l} \). a. ¿En qué momento la concentración de la droga fue máxima durante este ciempo? b. ¿Cuál fue esa máxima concentración? c. ¿En cuál momento la concentración de la droga fue minima en ese intervalo de tiempo?

Para resolver el problema, analizaremos la función \( D(t) = -5t^2 + 34t + 15 \), que es una parábola que abre hacia abajo (ya que el coeficiente de \( t^2 \) es negativo). Esto significa que tiene un máximo en su vértice. ### a. ¿En qué momento la concentración de la droga fue máxima durante este tiempo? La fórmula para encontrar el tiempo \( t \) en el que se alcanza el máximo de una parábola \( at^2 + bt + c \) es: \[ t = -\frac{b}{2a} \] En este caso, \( a = -5 \) y \( b = 34 \). Sustituyendo estos valores: \[ t = -\frac{34}{2 \cdot (-5)} = \frac{34}{10} = 3.4 \] Por lo tanto, la concentración de la droga fue máxima en \( t = 3.4 \) horas. ### b. ¿Cuál fue esa máxima concentración? Para encontrar la máxima concentración, sustituimos \( t = 3.4 \) en la función \( D(t) \): \[ D(3.4) = -5(3.4)^2 + 34(3.4) + 15 \] Calculamos \( (3.4)^2 \): \[ (3.4)^2 = 11.56 \] Ahora sustituimos: \[ D(3.4) = -5(11.56) + 34(3.4) + 15 \] \[ D(3.4) = -57.8 + 115.6 + 15 \] \[ D(3.4) = -57.8 + 130.6 = 72.8 \, \text{mg/l} \] Por lo tanto, la máxima concentración fue de \( 72.8 \, \text{mg/l} \). ### c. ¿En cuál momento la concentración de la droga fue mínima en ese intervalo de tiempo? Dado que la función es una parábola que abre hacia abajo, la concentración mínima en el intervalo \( 0 \leq t \leq 7 \) se encontrará en los extremos del intervalo. Evaluamos \( D(t) \) en \( t = 0 \) y \( t = 7 \): 1. Para \( t = 0 \): \[ D(0) = -5(0)^2 + 34(0) + 15 = 15 \, \text{mg/l} \] 2. Para \( t = 7 \): \[ D(7) = -5(7)^2 + 34(7) + 15 \] \[ D(7) = -5(49) + 238 + 15 \] \[ D(7) = -245 + 238 + 15 = 8 \, \text{mg/l} \] Comparando los valores: - \( D(0) = 15 \, \text{mg/l} \) - \( D(7) = 8 \, \text{mg/l} \) La concentración mínima en el intervalo \( 0 \leq t \leq 7 \) ocurre en \( t = 7 \) y es \( 8 \, \text{mg/l} \). ### Resumen de respuestas: a. La concentración máxima fue a \( t = 3.4 \) horas. b. La máxima concentración fue \( 72.8 \, \text{mg/l} \). c. La concentración mínima fue a \( t = 7 \) horas, con \( 8 \, \text{mg/l} \).