4. Determine los componentes de la función cuadrática y grafique. \( -x^{2}+4 x-1=0 \quad a=-x^{2} \quad b=4 \times \quad c=1 \) - Concavidad: \( a>a \) - Eje simetria \( x=2 \) - Vértice: \( (a, 3) \) - Intersecciones eje \( x: x=2+\sqrt{3} \) - Intersección eje y:

Para determinar los componentes de la función cuadrática \( -x^{2}+4x-1=0 \), primero identificamos los coeficientes: - \( a = -1 \) - \( b = 4 \) - \( c = -1 \) ### 1. Concavidad La concavidad de la parábola está determinada por el coeficiente \( a \): - Si \( a > 0 \), la parábola es cóncava hacia arriba. - Si \( a < 0 \), la parábola es cóncava hacia abajo. En este caso, como \( a = -1 < 0 \), la parábola es cóncava hacia abajo. ### 2. Eje de simetría El eje de simetría de la parábola se puede calcular con la fórmula: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Sustituyendo los valores de \( a \) y \( b \): \[ x = -\frac{4}{2 \cdot -1} = 2 \] ### 3. Vértice El vértice de la parábola se encuentra en el punto \( (x, f(x)) \), donde \( x \) es el eje de simetría. Para encontrar \( f(2) \): \[ f(2) = -2^2 + 4 \cdot 2 - 1 = -4 + 8 - 1 = 3 \] Por lo tanto, el vértice es \( (2, 3) \). ### 4. Intersecciones con el eje \( x \) Para encontrar las intersecciones con el eje \( x \), resolvemos la ecuación \( -x^{2} + 4x - 1 = 0 \). Usamos la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Sustituyendo los valores: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-1)}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{-2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{-2} \] \[ = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{-2} = 2 \mp \sqrt{3} \] Por lo tanto, las intersecciones con el eje \( x \) son: \[ x = 2 + \sqrt{3} \quad \text{y} \quad x = 2 - \sqrt{3} \] ### 5. Intersección con el eje \( y \) Para encontrar la intersección con el eje \( y \), evaluamos \( f(0) \): \[ f(0) = -0^2 + 4 \cdot 0 - 1 = -1 \] Por lo tanto, la intersección con el eje \( y \) es \( (0, -1) \). ### Resumen de componentes - Concavidad: Hacia abajo - Eje de simetría: \( x = 2 \) - Vértice: \( (2, 3) \) - Intersecciones con el eje \( x \): \( (2 + \sqrt{3}, 0) \) y \( (2 - \sqrt{3}, 0) \) - Intersección con el eje \( y \): \( (0, -1) \) ### Gráfica Para graficar la función cuadrática, se puede dibujar la parábola con los puntos mencionados: 1. Vértice en \( (2, 3) \). 2. Intersecciones en \( (2 + \sqrt{3}, 0) \) y \( (2 - \sqrt{3}, 0) \). 3. Intersección en \( (0, -1) \). La gráfica se verá como una parábola que se abre hacia abajo, con el vértice en la parte superior. Si necesitas una representación gráfica, puedes usar herramientas como Desmos o GeoGebra para visualizar la función.