Diketahui vektor \( \bar{a}=\left(\begin{array}{c}k+5 \\ k^{3} \\ k^{2}\end{array}\right) \) dan \( \bar{b}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 3\end{array}\right) \). Jika \( \bar{a} \) dan \( \bar{b} \) tegak lurus, nilai \( k=\ldots \) \( \begin{array}{ll}\text { A. } 4 & \text { D. }-1 \\ \text { B. } 3 & \text { E. }-5\end{array} \)

Untuk menentukan nilai \( k \) ketika vektor \( \bar{a} \) dan \( \bar{b} \) tegak lurus, kita dapat menggunakan konsep bahwa jika dua vektor tegak lurus, maka produk skalar mereka adalah nol. Diberikan vektor \( \bar{a}=\left(\begin{array}{c}k+5 \\ k^{3} \\ k^{2}\end{array}\right) \) dan \( \bar{b}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 3\end{array}\right) \). Kita dapat menentukan produk skalar antara \( \bar{a} \) dan \( \bar{b} \) sebagai berikut: \[ \bar{a} \cdot \bar{b} = (k+5)(-1) + (k^{3})(-1) + (k^{2})(3) \] Untuk \( \bar{a} \) dan \( \bar{b} \) tegak lurus, maka \( \bar{a} \cdot \bar{b} = 0 \). Maka kita dapat menulis: \[ (k+5)(-1) + (k^{3})(-1) + (k^{2})(3) = 0 \] Sekarang, kita dapat memecahkan persamaan ini untuk menemukan nilai \( k \). Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(k\): \(\left(k+5\right)\left(-1\right)+k^{3}\left(-1\right)+k^{2}\times 3=0\) - step1: Simplify: \(-k-5-k^{3}+3k^{2}=0\) - step2: Factor the expression: \(\left(-1-k\right)\left(5+k^{2}-4k\right)=0\) - step3: Separate into possible cases: \(\begin{align}&-1-k=0\\&5+k^{2}-4k=0\end{align}\) - step4: Solve the equation: \(\begin{align}&k=-1\\&k \notin \mathbb{R}\end{align}\) - step5: Find the union: \(k=-1\) Nilai \( k \) ketika vektor \( \bar{a} \) dan \( \bar{b} \) tegak lurus adalah \( k = -1 \). Jadi, jawaban yang benar adalah \( k = -1 \) atau pilihan jawaban D.