x) emostar qua: \( \operatorname{aec}^{4} \theta-\sec ^{2} \theta=\frac{1}{\cot ^{4} \theta}+\frac{1}{\cot ^{2} \theta} \)

为了证明等式 \( \operatorname{sec}^{4} \theta - \sec^{2} \theta = \frac{1}{\cot^{4} \theta} + \frac{1}{\cot^{2} \theta} \)，我们可以按照以下步骤进行： ### 步骤 1：将等式左边转换为基本三角函数形式 首先，将等式左边转换为基本三角函数形式： \[ \operatorname{sec}^{4} \theta - \operatorname{sec}^{2} \theta \] 我们知道，\(\operatorname{sec} \theta = \frac{1}{\cos \theta}\)，所以： \[ \operatorname{sec}^{4} \theta = \left(\frac{1}{\cos \theta}\right)^{4} = \frac{1}{\cos^{4} \theta} \] \[ \operatorname{sec}^{2} \theta = \left(\frac{1}{\cos \theta}\right)^{2} = \frac{1}{\cos^{2} \theta} \] 因此，等式左边可以写为： \[ \operatorname{sec}^{4} \theta - \operatorname{sec}^{2} \theta = \frac{1}{\cos^{4} \theta} - \frac{1}{\cos^{2} \theta} \] ### 步骤 2：将等式右边转换为基本三角函数形式 接下来，将等式右边转换为基本三角函数形式： \[ \frac{1}{\cot^{4} \theta} + \frac{1}{\cot^{2} \theta} \] 我们知道，\(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)，所以： \[ \cot^{4} \theta = \left(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^{4} = \frac{\cos^{4} \theta}{\sin^{4} \theta} \] \[ \cot^{2} \theta = \left(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^{2} = \frac{\cos^{2} \theta}{\sin^{2} \theta} \] 因此，等式右边可以写为： \[ \frac{1}{\cot^{4} \theta} + \frac{1}{\cot^{2} \theta} = \frac{\sin^{4} \theta}{\cos^{4} \theta} + \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} \] ### 步骤 3：化简等式左边 现在，我们化简等式左边： \[ \frac{1}{\cos^{4} \theta} - \frac{1}{\cos^{2} \theta} \] 将两个分数合并： \[ \frac{1}{\cos^{4} \theta} - \frac{1}{\cos^{2} \theta} = \frac{\cos^{2} \theta - 1}{\cos^{4} \theta} \] 我们知道，\(\cos^{2} \theta - 1 = -\sin^{2} \theta\)，所以： \[ \frac{\cos^{2} \theta - 1}{\cos^{4} \theta} = \frac{-\sin^{2} \theta}{\cos^{4} \theta} \] ### 步骤 4：化简等式右边 现在，我们化简等式右边： \[ \frac{\sin^{4} \theta}{\cos^{4} \theta} + \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} \] 将两个分数合并： \[ \frac{\sin^{4} \theta}{\cos^{4} \theta} + \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} = \frac{\sin^{2} \theta (\sin^{2} \theta + 1)}{\cos^{4} \theta} \] 我们知道，\(\sin^{2} \theta + 1 = \cos^{2} \theta\)，所以： \[ \frac{\sin^{2} \theta (\sin^{2} \theta + 1)}{\cos^{4} \theta} = \frac{\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta}{\cos^{4} \theta} = \frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} \] ### 步骤 5：比较等式两边 现在，我们比较等式两边： 等式左边： \[ \frac{-\sin^{2} \theta}{\cos^{4} \theta} \] 等式右边： \[ \frac{\sin^{