4. Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de \( 50^{\circ} \), y otro B , situado al otro lado y en línea recta, con un ángulo de \( 60^{\circ} \). Sabiendo que el globo se encuentra a una distancia de 6 kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B.

Para resolver el problema, podemos utilizar la ley de los senos en el triángulo formado por los puntos del globo, el pueblo A y el pueblo B. 1. **Identificación de los ángulos y lados**: - Sea \( G \) el punto donde se encuentra el globo. - Sea \( A \) el pueblo A. - Sea \( B \) el pueblo B. - La distancia \( GA = 6 \) km (distancia del globo al pueblo A). - La distancia \( GB = 4 \) km (distancia del globo al pueblo B). - El ángulo \( \angle AGB = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ \). 2. **Aplicación de la ley de los senos**: La ley de los senos establece que en un triángulo, la razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es constante. Es decir: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Donde: - \( a = GB = 4 \) km - \( b = GA = 6 \) km - \( c = AB \) (la distancia que queremos encontrar) - \( A = \angle AGB = 70^\circ \) - \( B = \angle BGA = 50^\circ \) - \( C = \angle GAB = 60^\circ \) 3. **Cálculo de la distancia \( AB \)**: Usamos la ley de los senos para encontrar \( AB \): \[ \frac{AB}{\sin(70^\circ)} = \frac{4}{\sin(50^\circ)} \] Despejamos \( AB \): \[ AB = 4 \cdot \frac{\sin(70^\circ)}{\sin(50^\circ)} \] 4. **Cálculo de los senos**: Usamos una calculadora para encontrar los valores de los senos: - \( \sin(70^\circ) \approx 0.9397 \) - \( \sin(50^\circ) \approx 0.7660 \) Sustituyendo estos valores: \[ AB = 4 \cdot \frac{0.9397}{0.7660} \approx 4 \cdot 1.225 \approx 4.9 \text{ km} \] Por lo tanto, la distancia entre los pueblos A y B es aproximadamente \( 4.9 \) km.