cercice 2 (un peu de trigonométrie hyperbolique) 1. a) Montrez que l'équation $$ 2 \operatorname{sh}(x)+1=0 $$ admet une unique solution sur $$ \mathbb{R} $$. On note a cette solution (bien qu'elle soit calculable, il n'est pas nécessaire d'avoir l'expression exacte pour continuer cet exercice) b) Justifiez que la fonction $$ u: x \mapsto \operatorname{ch}^{2} x+\operatorname{sh} x $$ est dérivable et montrez que pour tout réel $$ x, \operatorname{ch}^{2} x+\operatorname{sh} x \geq 0 $$

Question

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1. a) L'équation $$ 2 \operatorname{sh}(x) + 1 = 0 $$ admet une unique solution sur $$ \mathbb{R} $$ car $$ \operatorname{sh}(x) $$ est strictement croissante. 1. b) La fonction $$ u(x) = \operatorname{ch}^{2}(x) + \operatorname{sh}(x) $$ est dérivable et toujours positive pour tout $$ x \in \mathbb{R} $$.

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