En un lote baldío de 50 por 100 metros, una compañía llantera requiere bardear un terreno rectangular cuadrado de 550 metros cuadrados de superficie, dejando sin barda el lado que da hacia el Norte porque se utilizado como entrada, ¿ qué dimensiones deberá tener el terreno para que la suma bardeada sea la mini y asi reducir costos de construcción?

Para resolver el problema, primero definamos las dimensiones del terreno rectangular que se va a bardear. Llamemos \( x \) a la longitud del lado que va hacia el sur y \( y \) a la longitud del lado que va hacia el este u oeste. Dado que el área del terreno es de 550 metros cuadrados, podemos establecer la siguiente ecuación: \[ x \cdot y = 550 \] Dado que el lado norte no se bardeará, la cantidad de barda necesaria será la suma de los lados sur, este y oeste. Por lo tanto, la longitud total de la barda \( P \) que se necesita es: \[ P = x + 2y \] Ahora, podemos expresar \( y \) en términos de \( x \) usando la ecuación del área: \[ y = \frac{550}{x} \] Sustituyendo \( y \) en la ecuación de la barda: \[ P = x + 2\left(\frac{550}{x}\right) \] Simplificando: \[ P = x + \frac{1100}{x} \] Para minimizar \( P \), derivamos \( P \) con respecto a \( x \) y encontramos los puntos críticos: \[ \frac{dP}{dx} = 1 - \frac{1100}{x^2} \] Igualamos la derivada a cero para encontrar los valores críticos: \[ 1 - \frac{1100}{x^2} = 0 \] \[ \frac{1100}{x^2} = 1 \] \[ x^2 = 1100 \] \[ x = \sqrt{1100} \approx 33.17 \text{ metros} \] Ahora, sustituimos \( x \) para encontrar \( y \): \[ y = \frac{550}{x} = \frac{550}{\sqrt{1100}} \approx 18.52 \text{ metros} \] Por lo tanto, las dimensiones del terreno que minimizan la barda son aproximadamente: - \( x \approx 33.17 \) metros (lado sur) - \( y \approx 18.52 \) metros (lados este y oeste) Estas dimensiones permitirán minimizar la cantidad de barda necesaria y, por lo tanto, reducir los costos de construcción.