e, en el caso de ser posible, el o los ángu \( \begin{array}{ll}\text { a. } & \text { sen } \alpha=-0,3 \text { y } \propto \in \mathrm{IV} \\ \text { b. } & \cos \alpha=0,8 \text { y } \propto \in \text { III } \\ \text { c. } & \tan \alpha=-4,5 \text { y } \propto \in \mathrm{II}\end{array} \)

Para resolver cada uno de los casos, utilizaremos las propiedades de las funciones trigonométricas y la información sobre los cuadrantes en los que se encuentran los ángulos. ### a. \( \sin \alpha = -0.3 \) y \( \alpha \in \text{IV} \) En el cuarto cuadrante, el seno es negativo y el coseno es positivo. Para encontrar el ángulo \( \alpha \), podemos usar la relación: \[ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \] Sustituyendo \( \sin \alpha = -0.3 \): \[ \cos^2 \alpha + (-0.3)^2 = 1 \] \[ \cos^2 \alpha + 0.09 = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - 0.09 = 0.91 \] \[ \cos \alpha = \sqrt{0.91} \approx 0.9539 \] Dado que estamos en el cuarto cuadrante, \( \cos \alpha \) es positivo. Ahora podemos encontrar el ángulo: \[ \alpha = \arcsin(-0.3) \approx -0.3046 \text{ rad} \quad (\text{en IV cuadrante}) \] Para convertir a grados: \[ \alpha \approx -17.46^\circ \] ### b. \( \cos \alpha = 0.8 \) y \( \alpha \in \text{III} \) En el tercer cuadrante, tanto el seno como el coseno son negativos. Usamos la misma relación: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Sustituyendo \( \cos \alpha = 0.8 \): \[ \sin^2 \alpha + (0.8)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + 0.64 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - 0.64 = 0.36 \] \[ \sin \alpha = -\sqrt{0.36} = -0.6 \] Ahora encontramos el ángulo: \[ \alpha = \arccos(0.8) \approx 0.6435 \text{ rad} \] Dado que estamos en el tercer cuadrante, el ángulo es: \[ \alpha = \pi + 0.6435 \approx 3.7851 \text{ rad} \] Para convertir a grados: \[ \alpha \approx 216.87^\circ \] ### c. \( \tan \alpha = -4.5 \) y \( \alpha \in \text{II} \) En el segundo cuadrante, el seno es positivo y el coseno es negativo. Usamos la relación: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Dado que \( \tan \alpha = -4.5 \), podemos escribir: \[ \sin \alpha = 4.5 \cos \alpha \] Usamos la identidad: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Sustituyendo \( \sin \alpha \): \[ (4.5 \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ 20.25 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ 21.25 \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{1}{21.25} \approx 0.04706 \] \[ \cos \alpha = -\sqrt{0.04706} \approx -0.217 \] Ahora encontramos \( \sin \alpha \): \[ \sin \alpha = 4.5 \cdot (-0.217) \approx 0.976 \] Finalmente, encontramos el ángulo: \[ \alpha = \arctan(-4.5) \approx -1.3258 \text{ rad} \] Dado que estamos en el segundo cuadrante, el ángulo es: \[ \alpha = \pi - 1.3258 \approx 1.8153 \text{ rad} \] Para convertir a grados: \[ \alpha \approx 104.25^\circ \] ### Resumen de resultados: - a. \( \alpha \approx -17.46^\circ \) (IV cuadrante)