Factoriza los siguientes polinomios. 382. \( 64 n^{3}+240 n^{2} y+300 n y^{2}+125 y^{3} \) 383. \( x^{6}-6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}-8 y^{3} \)

Vamos a factorizar los polinomios que has proporcionado. ### 382. \( 64 n^{3}+240 n^{2} y+300 n y^{2}+125 y^{3} \) Primero, agrupamos los términos: \[ 64 n^3 + 240 n^2 y + 300 n y^2 + 125 y^3 \] Observamos que podemos agrupar los términos de la siguiente manera: \[ (64 n^3 + 240 n^2 y) + (300 n y^2 + 125 y^3) \] Ahora, factorizamos cada grupo: 1. En el primer grupo \( 64 n^3 + 240 n^2 y \): - Sacamos el factor común \( 16 n^2 \): \[ 16 n^2 (4 n + 15 y) \] 2. En el segundo grupo \( 300 n y^2 + 125 y^3 \): - Sacamos el factor común \( 25 y^2 \): \[ 25 y^2 (12 n + 5 y) \] Ahora, reescribimos el polinomio: \[ 16 n^2 (4 n + 15 y) + 25 y^2 (12 n + 5 y) \] Observamos que \( 4n + 15y \) y \( 12n + 5y \) no son iguales, así que intentamos reescribir el polinomio original como un trinomio cúbico. Notamos que el polinomio se puede reescribir como un cubo: \[ (4n + 5y)^3 \] Por lo tanto, la factorización es: \[ (4n + 5y)^3 \] ### 383. \( x^{6}-6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}-8 y^{3} \) Primero, observamos que este polinomio puede ser reescrito en términos de \( x^2 \): \[ (x^2)^3 - 6(x^2)^2y + 12(x^2)y^2 - 8y^3 \] Sea \( z = x^2 \), entonces el polinomio se convierte en: \[ z^3 - 6z^2y + 12zy^2 - 8y^3 \] Ahora, intentamos factorizar este polinomio. Observamos que podemos agruparlo: \[ (z^3 - 6z^2y) + (12zy^2 - 8y^3) \] Factorizamos cada grupo: 1. En el primer grupo \( z^3 - 6z^2y \): - Sacamos el factor común \( z^2 \): \[ z^2(z - 6y) \] 2. En el segundo grupo \( 12zy^2 - 8y^3 \): - Sacamos el factor común \( 4y^2 \): \[ 4y^2(3z - 2y) \] Ahora, reescribimos el polinomio: \[ z^2(z - 6y) + 4y^2(3z - 2y) \] Observamos que no hay un factor común directo, pero podemos intentar reescribirlo como un trinomio cúbico. Al observar el polinomio original, notamos que se puede factorizar como: \[ (x^2 - 2y)(x^4 - 4x^2y + 4y^2) \] El segundo factor se puede reconocer como un cuadrado perfecto: \[ (x^2 - 2y)^2 \] Por lo tanto, la factorización completa es: \[ (x^2 - 2y)^3 \] ### Resumen de las factorizaciones: 1. \( 64 n^{3}+240 n^{2} y+300 n y^{2}+125 y^{3} = (4n + 5y)^3 \) 2. \( x^{6}-6 x^{4} y+12 x^{2} y^{2}-8 y^{3} = (x^2 - 2y)^3 \)