El Area bajo la Curvo \( (x)=x+2 ;[1,5], n=8 \)

Para calcular el área bajo la curva de la función \( f(x) = x + 2 \) en el intervalo \([1, 5]\) utilizando el método de los rectángulos (también conocido como suma de Riemann) con \( n = 8 \), seguimos estos pasos: 1. **Determinar el ancho de cada subintervalo**: \[ \Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{5 - 1}{8} = \frac{4}{8} = 0.5 \] 2. **Determinar los puntos de evaluación**: Los puntos de evaluación para la suma de Riemann pueden ser los extremos izquierdos, derechos o el punto medio de cada subintervalo. Aquí usaremos los extremos izquierdos. Los puntos de evaluación son: \[ x_0 = 1, \quad x_1 = 1.5, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = 2.5, \quad x_4 = 3, \quad x_5 = 3.5, \quad x_6 = 4, \quad x_7 = 4.5 \] 3. **Calcular el valor de la función en cada punto**: \[ f(x_0) = f(1) = 1 + 2 = 3 \] \[ f(x_1) = f(1.5) = 1.5 + 2 = 3.5 \] \[ f(x_2) = f(2) = 2 + 2 = 4 \] \[ f(x_3) = f(2.5) = 2.5 + 2 = 4.5 \] \[ f(x_4) = f(3) = 3 + 2 = 5 \] \[ f(x_5) = f(3.5) = 3.5 + 2 = 5.5 \] \[ f(x_6) = f(4) = 4 + 2 = 6 \] \[ f(x_7) = f(4.5) = 4.5 + 2 = 6.5 \] 4. **Calcular el área aproximada**: La suma de Riemann con los extremos izquierdos es: \[ A \approx \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x \] \[ A \approx (f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) + f(x_5) + f(x_6) + f(x_7)) \Delta x \] \[ A \approx (3 + 3.5 + 4 + 4.5 + 5 + 5.5 + 6 + 6.5) \cdot 0.5 \] \[ A \approx (38) \cdot 0.5 = 19 \] Por lo tanto, el área aproximada bajo la curva \( f(x) = x + 2 \) en el intervalo \([1, 5]\) utilizando \( n = 8 \) es \( 19 \).