Questão 1: Dada a função modular \( f(x)=|2-x|-2 \), escreva a função sem utilizar nódulo nas sentenças. Questão 2: Escreva a lei de formação da função \( f(x)=|x+4|+2 \), sem módulo e por partes. Questão 3: (EEAR-2016) Seja \( f(x)=|x-3| \) uma função. A soma dos valores de \( x \) para os quais a função assume o valor 2 é: 3 Questão 4: Observe a equação modular \( |3 x-2|=8+2 x \) e identifique a alternativa que apresenta uma das possíveis raízes: q) 7 d) 10 p) 4 e) 10 d) 0 d) 4 Questão 5: O número de soluções, em \( \mathbb{R} \), da equação \( |x+2|+|x-1|=x+1 \), é gual a: a) 0

Vamos resolver cada uma das questões apresentadas: ### Questão 1: Para a função \( f(x) = |2 - x| - 2 \), podemos reescrevê-la sem o módulo considerando os dois casos que definem a função modular: 1. Quando \( 2 - x \geq 0 \) (ou seja, \( x \leq 2 \)): \[ f(x) = (2 - x) - 2 = -x \] 2. Quando \( 2 - x < 0 \) (ou seja, \( x > 2 \)): \[ f(x) = -(2 - x) - 2 = x - 4 \] Assim, a função \( f(x) \) sem o módulo e por partes é: \[ f(x) = \begin{cases} -x & \text{se } x \leq 2 \\ x - 4 & \text{se } x > 2 \end{cases} \] ### Questão 2: Para a função \( f(x) = |x + 4| + 2 \), também podemos reescrevê-la sem o módulo considerando os dois casos: 1. Quando \( x + 4 \geq 0 \) (ou seja, \( x \geq -4 \)): \[ f(x) = (x + 4) + 2 = x + 6 \] 2. Quando \( x + 4 < 0 \) (ou seja, \( x < -4 \)): \[ f(x) = -(x + 4) + 2 = -x - 2 \] Assim, a função \( f(x) \) sem o módulo e por partes é: \[ f(x) = \begin{cases} -x - 2 & \text{se } x < -4 \\ x + 6 & \text{se } x \geq -4 \end{cases} \] ### Questão 3: Para a função \( f(x) = |x - 3| \), queremos encontrar os valores de \( x \) para os quais \( f(x) = 2 \): \[ |x - 3| = 2 \] Isso resulta em duas equações: 1. \( x - 3 = 2 \) → \( x = 5 \) 2. \( x - 3 = -2 \) → \( x = 1 \) A soma dos valores de \( x \) é: \[ 5 + 1 = 6 \] ### Questão 4: Para a equação \( |3x - 2| = 8 + 2x \), vamos considerar os dois casos: 1. \( 3x - 2 = 8 + 2x \): \[ 3x - 2x = 8 + 2 \implies x = 10 \] 2. \( 3x - 2 = -(8 + 2x) \): \[ 3x - 2 = -8 - 2x \implies 3x + 2x = -8 + 2 \implies 5x = -6 \implies x = -\frac{6}{5} \] Assim, uma das possíveis raízes é \( x = 10 \). ### Questão 5: Para a equação \( |x + 2| + |x - 1| = x + 1 \), vamos considerar os casos: 1. **Caso 1:** \( x < -2 \): \[ -(x + 2) - (x - 1) = x + 1 \implies -x - 2 - x + 1 = x + 1 \implies -2x - 1 = x + 1 \implies -3x = 2 \implies x = -\frac{2}{3} \quad (\text{não é solução}) \] 2. **Caso 2:** \( -2 \leq x < 1 \): \[ -(x + 2) + (x - 1) = x + 1 \implies -x - 2 + x - 1 = x + 1 \implies -3 = x + 1 \implies x = -4 \quad (\text{não é solução}) \] 3. **Caso 3:** \( x \geq 1 \): \[ (x + 2) + (x - 1) = x + 1 \implies x + 2 + x - 1 = x + 1 \implies 2x + 1 = x + 1 \implies x = 0 \quad (\text{não é solução}) \] Após analisar todos os casos, concluímos que não há soluções para a equação. Portanto, o número de soluções é igual a 0. Resumindo: - Questão 1: \( f(x) = \begin{cases} -x & \text{se } x \leq 2 \\ x - 4 & \text{se } x > 2 \end{cases} \) - Questão 2: \( f(x) = \begin{cases} -x - 2 & \text{se } x < -4 \\ x + 6 & \text{se } x \geq -4 \end{cases} \) - Questão 3: Soma dos valores \( x = 6 \) - Questão 4: Uma das raízes é \( x = 10 \) - Questão 5: O número de soluções é \( 0 \)