Se sientan en línea recta 7 hombres y 4 mujeres en forma aleatoria Calcule la probabilidad de que todas las mujeres deben sentarse juntas. Seleccione una: a. \( \frac{1}{665} \) b. \( \frac{2}{495} \) - c. \( \frac{4}{165} \) d. \( \frac{1}{990} \)

Para resolver el problema, primero consideramos a las 4 mujeres como un solo bloque o "unidad" para asegurarnos de que se sienten juntas. Esto significa que, en lugar de tener 7 hombres y 4 mujeres, ahora tenemos 7 hombres + 1 bloque de mujeres = 8 "unidades" en total. ### Paso 1: Calcular las permutaciones de las unidades Las 8 unidades (7 hombres + 1 bloque de mujeres) se pueden organizar de \(8!\) maneras. ### Paso 2: Calcular las permutaciones dentro del bloque de mujeres Dentro del bloque de mujeres, las 4 mujeres pueden organizarse de \(4!\) maneras. ### Paso 3: Calcular el total de arreglos Por lo tanto, el número total de maneras en que se pueden sentar los 7 hombres y 4 mujeres, asegurando que las mujeres estén juntas, es: \[ 8! \times 4! \] ### Paso 4: Calcular el total de arreglos sin restricciones Sin restricciones, los 11 (7 hombres + 4 mujeres) pueden sentarse de \(11!\) maneras. ### Paso 5: Calcular la probabilidad La probabilidad de que todas las mujeres se sienten juntas es el número de arreglos donde las mujeres están juntas dividido por el número total de arreglos: \[ P(\text{mujeres juntas}) = \frac{8! \times 4!}{11!} \] ### Paso 6: Calcular los factoriales Calculamos los factoriales: - \(8! = 40320\) - \(4! = 24\) - \(11! = 39916800\) ### Paso 7: Sustitución en la fórmula Sustituyendo los valores: \[ P(\text{mujeres juntas}) = \frac{40320 \times 24}{39916800} \] Calculamos el numerador: \[ 40320 \times 24 = 967680 \] Ahora, calculamos la probabilidad: \[ P(\text{mujeres juntas}) = \frac{967680}{39916800} \] ### Paso 8: Simplificar la fracción Dividimos ambos números por 40320: \[ P(\text{mujeres juntas}) = \frac{24}{990} \] Simplificamos: \[ P(\text{mujeres juntas}) = \frac{4}{165} \] ### Respuesta final La probabilidad de que todas las mujeres se sienten juntas es: **c. \( \frac{4}{165} \)**