Martin Edwards
03/02/2023 · High School
3) Determine o complexo \( z \), que satisfaz a equação: i. \( z+3 \cdot(\bar{z}-1)-6=11 i \)
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Step-by-step Solution
Para resolver a equação \( z + 3 \cdot (\bar{z} - 1) - 6 = 11i \), vamos primeiro expressar \( z \) em termos de suas partes real e imaginária. Seja \( z = x + yi \), onde \( x \) é a parte real e \( y \) é a parte imaginária. Assim, a conjugada de \( z \) é \( \bar{z} = x - yi \).
Substituindo \( z \) e \( \bar{z} \) na equação, temos:
\[
(x + yi) + 3 \cdot ((x - yi) - 1) - 6 = 11i
\]
Agora, simplificamos a expressão:
\[
(x + yi) + 3 \cdot (x - yi - 1) - 6 = 11i
\]
\[
(x + yi) + 3(x - 1 - yi) - 6 = 11i
\]
Distribuindo o 3:
\[
(x + yi) + 3x - 3 - 3yi - 6 = 11i
\]
Agora, combinamos os termos:
\[
(x + 3x - 3 - 6) + (y - 3y)i = 11i
\]
\[
(4x - 9) + (-2y)i = 11i
\]
Agora, igualamos as partes real e imaginária:
1. Parte real: \( 4x - 9 = 0 \)
2. Parte imaginária: \( -2y = 11 \)
Resolvendo a primeira equação:
\[
4x - 9 = 0 \implies 4x = 9 \implies x = \frac{9}{4}
\]
Resolvendo a segunda equação:
\[
-2y = 11 \implies y = -\frac{11}{2}
\]
Portanto, temos:
\[
z = x + yi = \frac{9}{4} - \frac{11}{2}i
\]
Assim, o complexo \( z \) que satisfaz a equação é:
\[
z = \frac{9}{4} - \frac{11}{2}i
\]
Quick Answer
O complexo \( z \) que satisfaz a equação é \( z = \frac{9}{4} - \frac{11}{2}i \).
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