entre la raiz real entre 15 y 20 para el polinomio que se presenta a continuacion Aplic do de Newton-Raphson a dicha función y obtenga el resultado usando cuatro cifras ficativas. \( (10 \) puntos \( ) \) (D) \( =0.0074 x^{4}-0.284 x^{3}+3.355 x^{2}-12.183 x+5 \) 18.9470 19.3455 18.8948

Para aplicar el método de Newton-Raphson al polinomio dado, primero necesitamos definir la función y su derivada. La función es: \[ f(x) = 0.0074x^4 - 0.284x^3 + 3.355x^2 - 12.183x + 5 \] Ahora, calculamos la derivada de \( f(x) \): \[ f'(x) = 0.0296x^3 - 0.852x^2 + 6.71x - 12.183 \] El método de Newton-Raphson se define por la siguiente fórmula de iteración: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \] ### Paso 1: Elegir un valor inicial Dado que se nos indica que la raíz está entre 15 y 20, podemos elegir un valor inicial. Vamos a probar con \( x_0 = 18.5 \). ### Paso 2: Calcular \( f(x_0) \) y \( f'(x_0) \) Calculamos \( f(18.5) \) y \( f'(18.5) \): \[ f(18.5) = 0.0074(18.5)^4 - 0.284(18.5)^3 + 3.355(18.5)^2 - 12.183(18.5) + 5 \] Calculando cada término: - \( 0.0074(18.5)^4 \approx 0.0074 \times 11664.0625 \approx 86.297 \) - \( -0.284(18.5)^3 \approx -0.284 \times 6340.125 \approx -1801.5 \) - \( 3.355(18.5)^2 \approx 3.355 \times 342.25 \approx 1145.5 \) - \( -12.183(18.5) \approx -12.183 \times 18.5 \approx -225.9 \) - \( +5 \) Sumando todos los términos: \[ f(18.5) \approx 86.297 - 1801.5 + 1145.5 - 225.9 + 5 \approx -790.6 \] Ahora calculamos \( f'(18.5) \): \[ f'(18.5) = 0.0296(18.5)^3 - 0.852(18.5)^2 + 6.71(18.5) - 12.183 \] Calculando cada término: - \( 0.0296(18.5)^3 \approx 0.0296 \times 6340.125 \approx 188.5 \) - \( -0.852(18.5)^2 \approx -0.852 \times 342.25 \approx -291.5 \) - \( 6.71(18.5) \approx 6.71 \times 18.5 \approx 124.1 \) - \( -12.183 \) Sumando todos los términos: \[ f'(18.5) \approx 188.5 - 291.5 + 124.1 - 12.183 \approx 9.9 \] ### Paso 3: Aplicar la fórmula de Newton-Raphson Ahora aplicamos la fórmula: \[ x_1 = 18.5 - \frac{-790.6}{9.9} \approx 18.5 + 79.8 \approx 98.3 \] Esto no parece correcto, así que revisemos el cálculo de \( f(18.5) \) y \( f'(18.5) \). ### Paso 4: Repetir el proceso Vamos a elegir un nuevo valor inicial, por ejemplo, \( x_0 = 19.0 \). Calculamos \( f(19.0) \) y \( f'(19.0) \): \[ f(19.0) = 0.0074(19.0)^4 - 0.284(19.0)^3 + 3.355(19.0)^2 - 12.183(19.0) + 5 \] Calculando cada término: - \( 0.0074(19.0)^4 \approx 0.0074 \times 130321 \approx 965.4 \) - \( -0.284(19.0)^3 \approx -0.284 \times 6859 \approx -194