1. **Justification de l'allure de la courbe de décroissance radioactive du \( { }^{14} \mathrm{C} \)** :
La courbe de décroissance radioactive du \( { }^{14} \mathrm{C} \) est exponentielle. Cela signifie que le nombre d'atomes de \( { }^{14} \mathrm{C} \) diminue de manière proportionnelle à sa quantité actuelle. En d'autres termes, plus il y a d'atomes, plus le taux de désintégration est élevé. Cette caractéristique est décrite par la loi de décroissance radioactive :
\[
N(t) = N_0 e^{-\lambda t}
\]
où \( N(t) \) est le nombre d'atomes à un instant \( t \), \( N_0 \) est le nombre d'atomes initial, et \( \lambda \) est la constante de désintégration. La courbe commence à un maximum (au temps \( t = 0 \)) et décroît vers zéro, sans jamais l'atteindre complètement.
2. **À partir de quel moment le nombre d'atomes de \( { }^{14} \mathrm{C} \) commence-t-il à diminuer dans un organisme ?** :
Le nombre d'atomes de \( { }^{14} \mathrm{C} \) commence à diminuer dans un organisme au moment de sa mort. Avant cela, l'organisme absorbe du \( { }^{14} \mathrm{C} \) par le biais de la respiration et de l'alimentation, maintenant ainsi un équilibre. Une fois que l'organisme meurt, il cesse d'absorber du \( { }^{14} \mathrm{C} \), et la désintégration radioactive commence.
3. **Demi-vie d'un noyau radioactif** :
La demi-vie (\( t_{1/2} \)) d'un noyau radioactif est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux d'une quantité donnée se désintègrent. Si on part d'une quantité initiale \( N_0 \), après une demi-vie, il reste :
\[
N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2}
\]
Après deux demi-vies (\( 2 t_{1/2} \)), il reste :
\[
N(2 t_{1/2}) = \frac{N_0}{2^2} = \frac{N_0}{4}
\]
Pour \( 3 t_{1/2} \) :
\[
N(3 t_{1/2}) = \frac{N_0}{2^3} = \frac{N_0}{8}
\]
4. **Détermination graphique de la demi-vie du \( { }^{14} \mathrm{C} \)** :
Pour déterminer graphiquement la demi-vie du \( { }^{14} \mathrm{C} \), on peut tracer la courbe de décroissance radioactive en fonction du temps. La demi-vie est le temps correspondant à une réduction de la quantité de \( { }^{14} \mathrm{C} \) à la moitié de sa valeur initiale. En pratique, on peut mesurer la quantité de \( { }^{14} \mathrm{C} \) à différents moments et identifier le point où la quantité est égale à \( \frac{N_0}{2} \).
5. **Nombre de noyaux de \( { }^{14} \mathrm{C} \) restant après quatre demi-vies** :
Après quatre demi-vies (\( 4 t_{1/2} \)), le nombre de noyaux restants est donné par :
\[
N(4 t_{1/2}) = \frac{N_0}{2^4} = \frac{N_0}{16}
\]
6. **Durée nécessaire pour obtenir un nombre de noyaux de \( { }^{14} \mathrm{C} \) égal à \( 40 \% \) du nombre initial** :
Pour trouver le temps nécessaire pour que le nombre de noyaux soit \( 40 \% \) de \( N_0 \), on résout l'équation :
\[
N(t) = 0.4 N_0
\]
En utilisant la loi de décroissance :
\[
0.4 N_0 = N_0 e^{-\lambda t}
\]
En simplifiant, on obtient :
\[
0.4 = e^{-\lambda t
1. La courbe de décroissance radioactive du \( { }^{14} \mathrm{C} \) est exponentielle, diminuant proportionnellement à sa quantité actuelle.
2. Le nombre d'atomes de \( { }^{14} \mathrm{C} \) commence à diminuer dans un organisme au moment de sa mort.
3. La demi-vie est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs se désintègrent. Après deux demi-vies, il reste \( \frac{N_0}{4} \) des noyaux, et après trois demi-vies, il reste \( \frac{N_0}{8} \).
4. La demi-vie du \( { }^{14} \mathrm{C} \) peut être déterminée graphiquement en mesurant la quantité de \( { }^{14} \mathrm{C} \) à différents moments.
5. Après quatre demi-vies, il reste \( \frac{N_0}{16} \) des noyaux de \( { }^{14} \mathrm{C} \).
6. Pour obtenir \( 40 \% \) du nombre initial de \( { }^{14} \mathrm{C} \), il faut résoudre l'équation \( 0.4 = e^{-\lambda t} \).
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