b) Determina el área correspondiente de la función \( y=\mathbf{2 5 -} \mathrm{x}^{2} \) desde \( \mathrm{x}=0 \) a \( \mathrm{x}=5 \) usando seis trapecios. Respuesta: \( \mathbf{8 2 . 7 5} \mathbf{u}^{\mathbf{2}} \)

Para determinar el área bajo la curva de la función \( y = 25 - x^2 \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = 5 \) utilizando el método de los trapecios con seis trapecios, seguimos estos pasos: 1. **Dividir el intervalo**: El intervalo de integración es de \( x = 0 \) a \( x = 5 \). Dividimos este intervalo en 6 subintervalos. La longitud de cada subintervalo (\( \Delta x \)) es: \[ \Delta x = \frac{5 - 0}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.8333 \] 2. **Calcular los puntos de evaluación**: Los puntos en los que evaluaremos la función son: \[ x_0 = 0, \quad x_1 = \frac{5}{6}, \quad x_2 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}, \quad x_3 = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}, \quad x_4 = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}, \quad x_5 = \frac{25}{6}, \quad x_6 = 5 \] 3. **Evaluar la función**: Ahora evaluamos la función \( y = 25 - x^2 \) en estos puntos: \[ y_0 = 25 - 0^2 = 25 \] \[ y_1 = 25 - \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 25 - \frac{25}{36} = \frac{900 - 25}{36} = \frac{875}{36} \approx 24.3056 \] \[ y_2 = 25 - \left(\frac{5}{3}\right)^2 = 25 - \frac{25}{9} = \frac{225 - 25}{9} = \frac{200}{9} \approx 22.2222 \] \[ y_3 = 25 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = 25 - \frac{25}{4} = \frac{100 - 25}{4} = \frac{75}{4} = 18.75 \] \[ y_4 = 25 - \left(\frac{10}{3}\right)^2 = 25 - \frac{100}{9} = \frac{225 - 100}{9} = \frac{125}{9} \approx 13.8889 \] \[ y_5 = 25 - \left(\frac{25}{6}\right)^2 = 25 - \frac{625}{36} = \frac{900 - 625}{36} = \frac{275}{36} \approx 7.6389 \] \[ y_6 = 25 - 5^2 = 25 - 25 = 0 \] 4. **Aplicar la fórmula del trapecio**: La fórmula del área usando el método de los trapecios es: \[ A \approx \frac{\Delta x}{2} \left( y_0 + 2y_1 + 2y_2 + 2y_3 + 2y_4 + 2y_5 + y_6 \right) \] Sustituyendo los valores: \[ A \approx \frac{5/6}{2} \left( 25 + 2 \cdot \frac{875}{36} + 2 \cdot \frac{200}{9} + 2 \cdot \frac{75}{4} + 2 \cdot \frac{125}{9} + 2 \cdot \frac{275}{36} + 0 \right) \] Simplificando: \[ A \approx \frac{5}{12} \left( 25 + \frac{1750}{36} + \frac{400}{9} + \frac{150}{4} + \frac{250}{9} + \frac{550}{36} \right) \] Para sumar, convertimos todos los términos a un denominador común (36): \[ 25 = \frac{900}{36}, \quad \frac{400}{9} = \frac{1600}{36}, \quad \frac{150}{4} =