Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta. Su desplazamiento \( s \), en metros, especto de un origen O viene dado por \( (t)=\mathrm{e}^{\prime} \) cost , para el tiempo \( t \) segundos. Escriba una expresión para la velocidad, \( v \), en función de \( t \). Escriba una expresión para la aceleración a en función de \( t \)

Para encontrar la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo \( t \), comenzamos con la expresión del desplazamiento \( s(t) \): \[ s(t) = e^t \cos(t) \] ### 1. Cálculo de la velocidad \( v(t) \) La velocidad \( v(t) \) es la derivada del desplazamiento \( s(t) \) con respecto al tiempo \( t \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} \] Usamos la regla del producto para derivar \( s(t) = e^t \cos(t) \): \[ v(t) = \frac{d}{dt}(e^t) \cdot \cos(t) + e^t \cdot \frac{d}{dt}(\cos(t)) \] Calculamos las derivadas: - La derivada de \( e^t \) es \( e^t \). - La derivada de \( \cos(t) \) es \( -\sin(t) \). Sustituyendo estas derivadas en la expresión de la velocidad: \[ v(t) = e^t \cos(t) - e^t \sin(t) \] Factorizando \( e^t \): \[ v(t) = e^t (\cos(t) - \sin(t)) \] ### 2. Cálculo de la aceleración \( a(t) \) La aceleración \( a(t) \) es la derivada de la velocidad \( v(t) \) con respecto al tiempo \( t \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} \] Usamos la regla del producto nuevamente para derivar \( v(t) = e^t (\cos(t) - \sin(t)) \): \[ a(t) = \frac{d}{dt}(e^t) \cdot (\cos(t) - \sin(t)) + e^t \cdot \frac{d}{dt}(\cos(t) - \sin(t)) \] Calculamos las derivadas: - La derivada de \( e^t \) es \( e^t \). - La derivada de \( \cos(t) - \sin(t) \) es \( -\sin(t) - \cos(t) \). Sustituyendo estas derivadas en la expresión de la aceleración: \[ a(t) = e^t (\cos(t) - \sin(t)) + e^t (-\sin(t) - \cos(t)) \] Simplificando: \[ a(t) = e^t (\cos(t) - \sin(t) - \sin(t) - \cos(t)) \] \[ a(t) = e^t (-2\sin(t)) \] ### Resumen Las expresiones finales son: - **Velocidad**: \[ v(t) = e^t (\cos(t) - \sin(t)) \] - **Aceleración**: \[ a(t) = -2 e^t \sin(t) \]