5. \( A=\left|\begin{array}{r}1 \\ -1\end{array}\right|, B=\left\|\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right\|, \quad C=\left|\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right|,(A B C D)=-1 \) bo'lsa, D ni toping

Berilgan ma'lumotlarga ko'ra, \( A \), \( B \), \( C \) va \( D \) vektorlar sifatida berilgan. Ularning qiymatlari quyidagicha: \[ A = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \] Shuningdek, \( (A B C D) = -1 \) berilgan. Bu yerda \( (A B C D) \) - bu to'rt vektorning determinantidir. Determinantni hisoblash uchun, avval \( D \) vektorini \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) deb belgilaymiz. Endi, to'rt vektor \( A \), \( B \), \( C \) va \( D \) ni birga qo'shib, determinantni hisoblaymiz: \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & x \\ -1 & 1 & 0 & y \end{vmatrix} \] Bu determinantni hisoblash uchun, 4x4 determinantni hisoblash formulalaridan foydalanamiz. Biroq, bu yerda 2x4 determinantni hisoblashimiz kerak. Buning uchun, 2x2 determinantlar yordamida hisoblashimiz mumkin. Determinantni hisoblash jarayonida, quyidagi formulani qo'llaymiz: \[ \text{det}(A B C D) = A \cdot (B \times C) \cdot D \] Biroq, bu yerda to'g'ridan-to'g'ri hisoblash o'rniga, 2x2 determinantlar yordamida hisoblashimiz mumkin. Determinantni hisoblash uchun, avval \( B \) va \( C \) vektorlarining ko'paytmasini hisoblaymiz: \[ B \times C = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (2 \cdot 0) - (1 \cdot 1) = -1 \] Endi, \( A \) va \( D \) vektorlarining ko'paytmasini hisoblaymiz: \[ A \cdot (B \times C) = A \cdot (-1) = -A \] Shunday qilib, determinant quyidagicha bo'ladi: \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & x \\ -1 & 1 & 0 & y \end{vmatrix} = -1 \] Bu yerda \( D \) vektorining qiymatini topishimiz kerak. Agar \( D = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) bo'lsa, unda: \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & x \\ -1 & 1 & 0 & y \end{vmatrix} = -1 \] Bu determinantni hisoblash orqali \( D \) ni topishimiz mumkin. Natijada, \( D \) ni topish uchun, \( x \) va \( y \) ni aniqlashimiz kerak. Agar \( D \) ni \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) deb belgilasak, unda: \[ D = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] Shunday qilib, \( D \) ni topishimiz mumkin. Natijada, \( D \) ning qiymati: \[ D = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] Shunday qilib, \( D \) ni topdik.