Doña Josefa, habitante de una comunidad ha criado gallinas sin necesidad de tenerlas cautivas. Esto le ha ocasionado una serie de problemas, por lo que decide construir un gallinero en la parte posterior de su casa, Sus ahorros sólo le alcanzan para comprar 50 metros lineales de tela ciclónica para cercarlo. Si el terreno donde desea construir el gallinero es de \( 20 \times 40 \) metros, ¿Qué dimensiones deberá tener un gallinero (dónde utilice todo el material que compró) para que éste abarque la MAYOR área posible y así encerrar la mayor cantidad de gallinas? Observa que inicialmente el gallinero puede ser rectangular de diferentes dimensiones.

Para maximizar el área del gallinero que Doña Josefa desea construir, utilizaremos la tela ciclónica que tiene disponible, que es de 50 metros lineales. ### Planteamiento del problema 1. **Definición de variables**: - Sea \( x \) la longitud del gallinero (en metros). - Sea \( y \) la anchura del gallinero (en metros). 2. **Perímetro**: El gallinero es rectangular, por lo que el perímetro \( P \) se puede expresar como: \[ P = 2x + 2y \] Dado que Doña Josefa tiene 50 metros de tela, tenemos: \[ 2x + 2y = 50 \] Simplificando, obtenemos: \[ x + y = 25 \quad \text{(1)} \] 3. **Área**: El área \( A \) del gallinero se calcula como: \[ A = x \cdot y \] 4. **Sustitución**: De la ecuación (1), podemos despejar \( y \): \[ y = 25 - x \] Sustituyendo en la fórmula del área: \[ A = x(25 - x) = 25x - x^2 \] ### Maximización del área Para encontrar el valor de \( x \) que maximiza el área, derivamos \( A \) con respecto a \( x \) y igualamos a cero: \[ \frac{dA}{dx} = 25 - 2x \] Igualando a cero: \[ 25 - 2x = 0 \implies 2x = 25 \implies x = 12.5 \] Ahora, sustituimos \( x \) en la ecuación (1) para encontrar \( y \): \[ y = 25 - 12.5 = 12.5 \] ### Dimensiones del gallinero Por lo tanto, las dimensiones que maximizan el área del gallinero son: - Longitud \( x = 12.5 \) metros - Anchura \( y = 12.5 \) metros ### Área máxima El área máxima que se puede encerrar es: \[ A = 12.5 \cdot 12.5 = 156.25 \text{ metros cuadrados} \] ### Conclusión Doña Josefa debe construir un gallinero de dimensiones \( 12.5 \) metros de largo por \( 12.5 \) metros de ancho para maximizar el área y así poder albergar la mayor cantidad de gallinas posible.