(1) Resolver los siguentes ejerodos an potendes ce \( i \) (a) \( \left[\frac{\left(i^{4} \cdot i^{9}\right)^{3} \cdot i^{-5}}{i^{7} \cdot i^{i^{2}}}\right]^{5}= \)

Para resolver el ejercicio \( \left[\frac{\left(i^{4} \cdot i^{9}\right)^{3} \cdot i^{-5}}{i^{7} \cdot i^{i^{2}}}\right]^{5} \), primero simplificamos la expresión dentro de los corchetes. 1. **Simplificar el numerador**: \[ i^{4} \cdot i^{9} = i^{4 + 9} = i^{13} \] Entonces, elevamos esto a la potencia de 3: \[ (i^{13})^{3} = i^{39} \] Ahora, incluimos \( i^{-5} \): \[ i^{39} \cdot i^{-5} = i^{39 - 5} = i^{34} \] 2. **Simplificar el denominador**: \[ i^{7} \cdot i^{i^{2}} = i^{7 + i^{2}} \] Sabemos que \( i^{2} = -1 \), por lo que: \[ i^{7 + i^{2}} = i^{7 - 1} = i^{6} \] 3. **Dividir el numerador entre el denominador**: \[ \frac{i^{34}}{i^{6}} = i^{34 - 6} = i^{28} \] 4. **Elevar la expresión a la potencia de 5**: \[ (i^{28})^{5} = i^{28 \cdot 5} = i^{140} \] 5. **Simplificar \( i^{140} \)**: Recordemos que \( i^{4} = 1 \), por lo que podemos reducir el exponente módulo 4: \[ 140 \mod 4 = 0 \] Entonces: \[ i^{140} = (i^{4})^{35} = 1^{35} = 1 \] Por lo tanto, el resultado final es: \[ \left[\frac{\left(i^{4} \cdot i^{9}\right)^{3} \cdot i^{-5}}{i^{7} \cdot i^{i^{2}}}\right]^{5} = 1 \]