La función demanda de un fabricante es \( f(q)=\sqrt{100-p} \) y su función oferta es \( g(q)=\frac{p}{2}-10 \), la expresión que permite calcular los excedentes de consumidores corresponde a:

Para calcular el excedente del consumidor, primero necesitamos encontrar el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio, donde la función de demanda \( f(q) \) es igual a la función de oferta \( g(q) \). 1. **Igualar la función de demanda y la función de oferta**: \[ \sqrt{100 - p} = \frac{p}{2} - 10 \] 2. **Despejar \( p \)**: Primero, elevamos al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz: \[ 100 - p = \left(\frac{p}{2} - 10\right)^2 \] Expandimos el lado derecho: \[ 100 - p = \frac{p^2}{4} - 10p + 100 \] Simplificamos: \[ -p = \frac{p^2}{4} - 10p \] Multiplicamos todo por 4 para eliminar el denominador: \[ -4p = p^2 - 40p \] Reorganizamos la ecuación: \[ p^2 - 36p = 0 \] Factorizamos: \[ p(p - 36) = 0 \] Esto nos da dos soluciones: \( p = 0 \) y \( p = 36 \). Ignoramos \( p = 0 \) porque no tiene sentido en este contexto. 3. **Encontrar la cantidad de equilibrio**: Sustituimos \( p = 36 \) en cualquiera de las funciones (usaremos la oferta): \[ g(q) = \frac{36}{2} - 10 = 18 - 10 = 8 \] Por lo tanto, la cantidad de equilibrio es \( q = 8 \). 4. **Calcular el excedente del consumidor**: El excedente del consumidor se calcula como el área del triángulo que se forma entre la línea de precio de equilibrio y la curva de demanda. La fórmula es: \[ \text{Excedente del consumidor} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} \] - La base es la cantidad de equilibrio \( q = 8 \). - La altura es la diferencia entre el precio máximo que los consumidores están dispuestos a pagar (cuando \( q = 0 \)) y el precio de equilibrio. Para encontrar el precio máximo, evaluamos la función de demanda cuando \( q = 0 \): \[ f(0) = \sqrt{100 - p} \Rightarrow 0 = \sqrt{100 - p} \Rightarrow p = 100 \] Entonces, la altura es \( 100 - 36 = 64 \). 5. **Sustituyendo en la fórmula**: \[ \text{Excedente del consumidor} = \frac{1}{2} \times 8 \times 64 = \frac{1}{2} \times 512 = 256 \] Por lo tanto, la expresión que permite calcular el excedente de consumidores es: \[ \text{Excedente del consumidor} = \frac{1}{2} \times q_e \times (p_{max} - p_e) \] donde \( q_e = 8 \), \( p_{max} = 100 \), y \( p_e = 36 \).