26. Considere a função definida por \( f(x)=-x^{2}+4 x-2 \). a) Determine os zeros de \( f \), se houver. b) Calcule as coordenadas do vértice de seu gráfico. c) Esboce seu gráfico.

Vamos analisar a função \( f(x) = -x^2 + 4x - 2 \). ### a) Determinação dos zeros de \( f \) Para encontrar os zeros da função, precisamos resolver a equação \( f(x) = 0 \): \[ -x^2 + 4x - 2 = 0 \] Multiplicando toda a equação por -1 para facilitar a resolução, obtemos: \[ x^2 - 4x + 2 = 0 \] Agora, podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação quadrática \( ax^2 + bx + c = 0 \), onde \( a = 1 \), \( b = -4 \) e \( c = 2 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8 \] Como o discriminante é positivo, existem duas raízes reais. Agora, substituímos na fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} \] Simplificando \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \): \[ x = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2} \] Portanto, os zeros da função são: \[ x_1 = 2 + \sqrt{2} \quad \text{e} \quad x_2 = 2 - \sqrt{2} \] ### b) Cálculo das coordenadas do vértice A coordenada \( x \) do vértice de uma parábola dada pela função \( ax^2 + bx + c \) é dada por: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] Substituindo \( a = -1 \) e \( b = 4 \): \[ x_v = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2 \] Agora, substituímos \( x_v \) na função para encontrar a coordenada \( y \) do vértice: \[ f(2) = -2^2 + 4 \cdot 2 - 2 = -4 + 8 - 2 = 2 \] Portanto, as coordenadas do vértice são: \[ (2, 2) \] ### c) Esboço do gráfico A função \( f(x) = -x^2 + 4x - 2 \) é uma parábola que abre para baixo (já que o coeficiente de \( x^2 \) é negativo). - Os zeros da função são \( x_1 = 2 + \sqrt{2} \) e \( x_2 = 2 - \sqrt{2} \). - O vértice da parábola está em \( (2, 2) \). - A parábola intercepta o eixo \( y \) quando \( x = 0 \): \[ f(0) = -0^2 + 4 \cdot 0 - 2 = -2 \] Assim, o gráfico da função terá os seguintes pontos importantes: - Vértice: \( (2, 2) \) - Intercepto no eixo \( y \): \( (0, -2) \) - Zeros: \( (2 + \sqrt{2}, 0) \) e \( (2 - \sqrt{2}, 0) \) O esboço do gráfico seria uma parábola que passa pelos pontos mencionados, com o vértice no ponto mais alto da parábola. Aqui está uma representação aproximada do gráfico: ``` | 3| * 2| * * 1| * * 0|-------*-----*-------*------- -1| * * -2| * * |___________________________ 0 1 2 3 4 5 6 ``` Os pontos \( (2 + \sqrt{2}, 0) \) e \( (2 - \sqrt{2}, 0) \) estão entre 3 e 4 no eixo \( x \).