การบ้านครั้งที่ 6 1. มีรอกสองชั้นตัวหนึ่งรัศมีวงนอกของรอก 200 mm และวงใน 100 mm วงนอกของรอกถูกคล้องด้วยเชือก ที่มัดติดกับกล่อง \( A \) ส่วนวงในของรอกคล้องกับเชือกที่มัดติดกับมวล \( B \) เมื่อกล่อง \( A \) มีความเร่งคงที่ 75 \( \mathrm{~mm} / \mathrm{s}^{2} \) และมีความเร็วเริมตเนเป็น \( 120 \mathrm{~mm} / \mathrm{s} \) โดยมีทิศทางวิ่งลงด้านล่าง จงหา (ก) จำนวณรอบของรอกที่ หมุนไปใน 6 วินาที (ข) ความเร็วและตำแหน่งของกล่อง \( B \) เมื่อเวลาผ่านไป 6 วินาที

เพื่อหาคำตอบสำหรับการบ้านนี้ เราจะแบ่งออกเป็นสองส่วนตามที่กำหนดในคำถาม ### (ก) จำนวนรอบของรอกที่หมุนไปใน 6 วินาที 1. **คำนวณความเร่งเชิงมุมของรอก**: - รอกมีรัศมีวงนอก \( R_1 = 200 \, \text{mm} = 0.2 \, \text{m} \) - รอกมีรัศมีวงใน \( R_2 = 100 \, \text{mm} = 0.1 \, \text{m} \) - ความเร่งเชิงเส้นของกล่อง \( A \) คือ \( a = 75 \, \text{mm/s}^2 = 0.075 \, \text{m/s}^2 \) เนื่องจากเชือกที่มัดติดกับกล่อง \( A \) จะทำให้รอกหมุน เราสามารถใช้ความสัมพันธ์ระหว่างความเร่งเชิงเส้นและความเร่งเชิงมุมได้: \[ a = R_1 \cdot \alpha \] โดยที่ \( \alpha \) คือความเร่งเชิงมุม (rad/s²) \[ \alpha = \frac{a}{R_1} = \frac{0.075}{0.2} = 0.375 \, \text{rad/s}^2 \] 2. **คำนวณจำนวนรอบที่รอกหมุนใน 6 วินาที**: - ใช้สูตรการเคลื่อนที่แบบหมุน: \[ \theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \] โดยที่ \( \omega_0 \) คือความเร็วเชิงมุมเริ่มต้น (ซึ่งในที่นี้คือ 0 เพราะเริ่มจากหยุด) และ \( t = 6 \, \text{s} \): \[ \theta = 0 + \frac{1}{2} \cdot 0.375 \cdot (6^2) = \frac{1}{2} \cdot 0.375 \cdot 36 = 6.75 \, \text{rad} \] - แปลงเป็นจำนวนรอบ: \[ \text{จำนวนรอบ} = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{6.75}{2\pi} \approx \frac{6.75}{6.2832} \approx 1.07 \, \text{รอบ} \] ### (ข) ความเร็วและตำแหน่งของกล่อง \( B \) เมื่อเวลาผ่านไป 6 วินาที 1. **คำนวณความเร็วของกล่อง \( B \)**: - ความเร็วของกล่อง \( A \) เมื่อเวลาผ่านไป 6 วินาที: \[ v = v_0 + at = 120 \, \text{mm/s} + 75 \, \text{mm/s}^2 \cdot 6 \, \text{s} = 120 + 450 = 570 \, \text{mm/s} \] - ความเร็วของกล่อง \( B \) จะเท่ากับความเร็วของรอกที่วงใน: \[ v_B = R_2 \cdot \omega \] โดยที่ \( \omega \) คือความเร็วเชิงมุมที่ได้จาก: \[ \omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + 0.375 \cdot 6 = 2.25 \, \text{rad/s} \] ดังนั้น: \[ v_B = R_2 \cdot \omega = 0.1 \cdot 2.25 = 0.225 \, \text{m/s} = 225 \, \text{mm/s} \] 2. **คำนวณตำแหน่งของกล่อง \( B \)**: - ใช้สูตรการเคลื่อนที่: \[ s = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \] โดยที่ \( s_0 = 0 \), \( v_0 = 0 \) (เริ่มจากหยุด), \( a = 0.075 \, \text{m/s}^2 \): \[