Johnson Griffin
03/30/2024 · Middle School
Halle el volumen del sólido que se genera al rotar la región limitada por \( y=\sqrt{x}, y=2-x, 0 \leq x \leq 1 \) y el eje \( y \) alrededor de la recta \( y=-1 \)
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Para encontrar el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas \( y = \sqrt{x} \), \( y = 2 - x \), y el eje \( y \) alrededor de la recta \( y = -1 \), utilizaremos el método de discos o anillos.
Primero, determinamos los puntos de intersección de las curvas \( y = \sqrt{x} \) y \( y = 2 - x \):
\[
\sqrt{x} = 2 - x
\]
Elevamos al cuadrado ambos lados:
\[
x = (2 - x)^2
\]
Desarrollamos el lado derecho:
\[
x = 4 - 4x + x^2
\]
Reorganizamos la ecuación:
\[
x^2 - 5x + 4 = 0
\]
Factorizamos:
\[
(x - 1)(x - 4) = 0
\]
Por lo tanto, \( x = 1 \) y \( x = 4 \). Sin embargo, dado que estamos limitados por \( 0 \leq x \leq 1 \), solo consideramos \( x = 1 \).
Ahora, evaluamos las funciones en el intervalo \( [0, 1] \):
- Para \( x = 0 \): \( y = \sqrt{0} = 0 \) y \( y = 2 - 0 = 2 \).
- Para \( x = 1 \): \( y = \sqrt{1} = 1 \) y \( y = 2 - 1 = 1 \).
La región está limitada por \( y = \sqrt{x} \) y \( y = 2 - x \) desde \( x = 0 \) hasta \( x = 1 \).
Ahora, al rotar alrededor de la línea \( y = -1 \), la distancia desde la curva hasta la línea de rotación es:
- Para \( y = \sqrt{x} \): La distancia es \( \sqrt{x} - (-1) = \sqrt{x} + 1 \).
- Para \( y = 2 - x \): La distancia es \( (2 - x) - (-1) = 2 - x + 1 = 3 - x \).
El volumen \( V \) se calcula como la integral de la diferencia de los cuadrados de las distancias:
\[
V = \pi \int_{0}^{1} \left[ (3 - x)^2 - (\sqrt{x} + 1)^2 \right] \, dx
\]
Calculamos cada término:
1. \( (3 - x)^2 = 9 - 6x + x^2 \)
2. \( (\sqrt{x} + 1)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1 \)
Ahora, restamos:
\[
(3 - x)^2 - (\sqrt{x} + 1)^2 = (9 - 6x + x^2) - (x + 2\sqrt{x} + 1)
\]
Simplificamos:
\[
= 9 - 6x + x^2 - x - 2\sqrt{x} - 1
\]
\[
= 8 - 7x + x^2 - 2\sqrt{x}
\]
Ahora, integramos:
\[
V = \pi \int_{0}^{1} (8 - 7x + x^2 - 2\sqrt{x}) \, dx
\]
Calculamos la integral término a término:
1. \( \int 8 \, dx = 8x \)
2. \( \int -7x \, dx = -\frac{7}{2}x^2 \)
3. \( \int x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3 \)
4. \( \int -2\sqrt{x} \, dx = -\frac{4}{3}x^{3/2} \)
Evaluamos desde \( 0 \) hasta \( 1 \):
\[
V = \pi \left[ 8x - \frac{7}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{4}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{1}
\]
Sustituyendo \( x = 1 \):
\[
= \pi \left( 8 - \frac{7}{2} + \frac{1}{3} - \frac{4}{3} \right)
\]
Calculamos:
\[
= \pi \left( 8 - 3.5 + \frac{1 - 4}{
Quick Answer
El volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas \( y = \sqrt{x} \), \( y = 2 - x \), y el eje \( y \) alrededor de la recta \( y = -1 \) es \( \pi \left( 8 - 3.5 + \frac{1 - 4}{3} \right) \).
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