3. Un comerciante compró una determinada cantidad de figuras de porcelana Si las acomoda en el mosuador en grupos de dos niguras, ro sobran, peio si ias acomoda en grupos de cinco figuras sobra una. Cuantas po sibes soluciones encuentras para resolver este problema? Explica la estrategia que uilizaste para resolverio.

Para resolver el problema, vamos a plantear las condiciones dadas en forma de ecuaciones. 1. Sea \( n \) la cantidad de figuras de porcelana que compró el comerciante. 2. Según el problema, si las acomoda en grupos de 2 figuras, no sobran. Esto se puede expresar como: \[ n \mod 2 = 0 \] Esto significa que \( n \) es un número par. 3. También se menciona que si las acomoda en grupos de 5 figuras, sobra 1 figura. Esto se puede expresar como: \[ n \mod 5 = 1 \] Ahora tenemos dos condiciones: - \( n \) es par. - \( n \equiv 1 \mod 5 \) Para encontrar las soluciones, podemos expresar \( n \) en términos de la segunda condición. La congruencia \( n \equiv 1 \mod 5 \) significa que \( n \) puede ser escrito como: \[ n = 5k + 1 \] donde \( k \) es un entero no negativo. Ahora, para que \( n \) sea par, \( 5k + 1 \) debe ser par. Observamos que \( 5k \) es impar cuando \( k \) es impar y par cuando \( k \) es par. Por lo tanto, para que \( 5k + 1 \) sea par, \( k \) debe ser impar. Podemos escribir \( k \) como \( k = 2m + 1 \) (donde \( m \) es un entero no negativo), para asegurarnos de que \( k \) sea impar. Sustituyendo esto en la ecuación de \( n \): \[ n = 5(2m + 1) + 1 = 10m + 5 + 1 = 10m + 6 \] Esto nos da la forma general de \( n \): \[ n = 10m + 6 \] donde \( m \) es un entero no negativo. Ahora, podemos encontrar diferentes valores de \( n \) al variar \( m \): - Si \( m = 0 \), \( n = 6 \) - Si \( m = 1 \), \( n = 16 \) - Si \( m = 2 \), \( n = 26 \) - Si \( m = 3 \), \( n = 36 \) - Y así sucesivamente. Por lo tanto, hay infinitas soluciones para \( n \) en la forma \( n = 10m + 6 \) donde \( m \) es un entero no negativo. **Estrategia utilizada:** 1. Plantear las condiciones del problema en forma de congruencias. 2. Expresar una de las variables en términos de la otra. 3. Asegurar que se cumplan las condiciones dadas (en este caso, que \( n \) sea par). 4. Encontrar la forma general de las soluciones y determinar que hay infinitas soluciones al variar el parámetro.