Mcguire Chang
06/14/2024 · Junior High School
Aufgabe 2 Es sei \( \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times m}, \mathbf{A} \geq \mathbf{0} \), eine primitive Matrix. Betrachten Sie die Vektor-Iteration \( \mathbf{v}_{n}=\mathbf{A} \mathbf{v}_{n-1} \), \( n \geq 1 \), für einen Startvektor \( \mathbf{v}_{0} \geq \mathbf{0}, \mathbf{v} \neq \mathbf{0} \). Zeigen Sie, dass eine eindeutige Zahl \( \gamma \in \mathbb{R} \) existiert, sodass der Grenzwert \[ \lim _{n \rightarrow \infty} e^{-\gamma n}\left\|\mathbf{v}_{n}\right\|_{1} \] existiert. Interpretieren Sie diese Aussage in Bezug auf Anwendungen.
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Es existiert eine eindeutige Zahl \( \gamma \in \mathbb{R} \), sodass der Grenzwert
\[
\lim_{n \rightarrow \infty} e^{-\gamma n} \left\| \mathbf{v}_{n} \right\|_{1}
\]
existiert. Dies hat Anwendungen in der Theorie der Markov-Ketten und in der numerischen Mathematik, wo es Aufschluss über die Konvergenzgeschwindigkeit zur stationären Verteilung gibt.
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