Nichols Klein
01/04/2023 · High School
1. Пусть \( \mathbb{N}- \) наименьшее по включению индуктивное множеств
\( x
UpStudy ThothAI Solution
Tutor-Verified Answer
Step-by-step Solution
Для доказательства свойств операций сложения \( + \) и умножения \( \cdot \) на множестве натуральных чисел \( \mathbb{N} \), определим их с помощью индукции.
### 1. Ассоциативность и коммутативность
**Сложение \( + \)**:
- **Коммутативность**:
Доказательство по индукции по \( y \):
- База: \( x + 0 = x \) и \( 0 + x = x \).
- Индукционное предположение: Пусть \( x + y = y + x \).
- Индукционный шаг:
\[
x + y' = (x + y) ' = (y + x) ' = y' + x.
\]
Таким образом, \( x + y = y + x \) для всех \( x, y \in \mathbb{N} \).
- **Ассоциативность**:
Доказательство по индукции по \( z \):
- База: \( x + 0 + y = x + y \) и \( x + y + 0 = x + y \).
- Индукционное предположение: Пусть \( x + y + z = x + (y + z) \).
- Индукционный шаг:
\[
x + y' + z = (x + y + z) ' = (x + (y + z)) ' = x + (y' + z) = x + (y + z').
\]
Таким образом, \( (x + y) + z = x + (y + z) \) для всех \( x, y, z \in \mathbb{N} \).
**Умножение \( \cdot \)**:
- **Коммутативность**:
Доказательство по индукции по \( y \):
- База: \( x \cdot 0 = 0 \) и \( 0 \cdot x = 0 \).
- Индукционное предположение: Пусть \( x \cdot y = y \cdot x \).
- Индукционный шаг:
\[
x \cdot y' = x \cdot y + x = y \cdot x + x = y' \cdot x.
\]
Таким образом, \( x \cdot y = y \cdot x \) для всех \( x, y \in \mathbb{N} \).
- **Ассоциативность**:
Доказательство по индукции по \( z \):
- База: \( x \cdot 0 \cdot y = 0 \) и \( x \cdot y \cdot 0 = 0 \).
- Индукционное предположение: Пусть \( x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z \).
- Индукционный шаг:
\[
x \cdot y' \cdot z = (x \cdot y \cdot z) + (x \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z + x \cdot z = (x \cdot y) \cdot z'.
\]
Таким образом, \( x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z \) для всех \( x, y, z \in \mathbb{N} \).
### 2. Дистрибутивность
Доказательство:
\[
x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z.
\]
Доказательство по индукции по \( z \):
- База: \( x \cdot (y + 0) = x \cdot y \).
- Индукционное предположение: Пусть \( x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z \).
- Индукционный шаг:
\[
x \cdot (y + z') = x \cdot ((y + z)') = x \cdot (y + z) + x = (x \cdot y + x \cdot z) + x.
\]
Таким образом, дистрибутивность выполнена.
### 3. Нейтральные элементы
- Для сложения: \( x + 0 = x \) для всех \( x \in \mathbb{N} \).
- Для умнож
Quick Answer
Доказано, что операции сложения \( + \) и умножения \( \cdot \) на множестве натуральных чисел \( \mathbb{N} \) ассоциативны и коммутативны. Умножение \( \cdot \) дистрибутивно относительно сложения \( + \). Нулевое число \( 0 \) является нейтральным относительно сложения \( + \), а единичное число \( 1 \) является нейтральным относительно умножения \( \cdot \).
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
UpStudy ThothAI
Self-Developed and Ever-Improving
Thoth AI product is constantly being upgraded and optimized.
Covers All Major Subjects
Capable of handling homework in math, chemistry, biology, physics, and more.
Instant and Accurate
Provides immediate and precise solutions and guidance.
Try Now
Ask Tutors
Ask AI
10x
Fastest way to Get Answers & Solutions
By text
Enter your question here…
By image
Re-Upload
Submit