15.) La Florida Oranges linc. (FCI) tiene que determinar la cantidad optima para recoger, empacar y transportar sus naranjas "super" Y "comunes" cada semana. La mano de obra disponible para recogida y empaque es de 4000 horas semanales. Para recoger, empacar y dejar un furgon cargado con naranjas super, se necesitan 30 horas y para naranjas comunes se necesitan 15 horas. La Fol tiene una cantdad méxima de dinera de \( \$ 60000 \), el costo alquiler por caca proceso de carga del furgón y transporte es de \( \$ 200 \) y \( \$ 300 \) para naranjas comunes y super respectivamente. La utilidad por furgán es de \( \$ 2000 \) para naranjas comunes y \( \$ 2500 \) para naranjas super. La FO desea determinar la combinaclón óptima de furgones por tipo dé naranjas que maximice la utilicad semanal.

Para resolver este problema de optimización, podemos plantear un modelo de programación lineal. Definiremos las variables, la función objetivo y las restricciones. ### Variables - \( x \): número de furgones de naranjas comunes. - \( y \): número de furgones de naranjas super. ### Función Objetivo Queremos maximizar la utilidad total semanal, que se puede expresar como: \[ Z = 2000x + 2500y \] ### Restricciones 1. **Restricción de mano de obra**: La mano de obra disponible es de 4000 horas semanales. Cada furgón de naranjas comunes requiere 15 horas y cada furgón de naranjas super requiere 30 horas. Por lo tanto, la restricción de mano de obra es: \[ 15x + 30y \leq 4000 \] 2. **Restricción de presupuesto**: La cantidad máxima de dinero disponible es de \( \$ 60000 \). El costo de transporte por furgón de naranjas comunes es \( \$ 300 \) y para naranjas super es \( \$ 200 \). La restricción de presupuesto es: \[ 300x + 200y \leq 60000 \] 3. **Restricciones de no negatividad**: No podemos tener un número negativo de furgones, por lo que: \[ x \geq 0 \] \[ y \geq 0 \] ### Resumen del modelo Maximizar: \[ Z = 2000x + 2500y \] sujeto a: \[ 15x + 30y \leq 4000 \] \[ 300x + 200y \leq 60000 \] \[ x \geq 0 \] \[ y \geq 0 \] ### Resolución del modelo Para resolver este modelo, podemos utilizar el método gráfico (si es en 2D) o métodos computacionales como el método simplex. Aquí, procederemos a resolverlo gráficamente. 1. **Graficar las restricciones**: - Para la primera restricción \( 15x + 30y = 4000 \): - Si \( x = 0 \), \( y = \frac{4000}{30} \approx 133.33 \) - Si \( y = 0 \), \( x = \frac{4000}{15} \approx 266.67 \) - Para la segunda restricción \( 300x + 200y = 60000 \): - Si \( x = 0 \), \( y = \frac{60000}{200} = 300 \) - Si \( y = 0 \), \( x = \frac{60000}{300} = 200 \) 2. **Encontrar los puntos de intersección**: - Resolvemos el sistema de ecuaciones: \[ 15x + 30y = 4000 \] \[ 300x + 200y = 60000 \] Multiplicamos la primera ecuación por 10 para facilitar la eliminación: \[ 150x + 300y = 40000 \] Restamos la segunda ecuación: \[ 150x + 300y - (300x + 200y) = 40000 - 60000 \] \[ -150x + 100y = -20000 \] Simplificamos: \[ 3x - 2y = 400 \quad \text{(1)} \] Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones (1) y la primera restricción: \[ 15x + 30y = 4000 \quad \text{(2)} \] Multiplicamos (1) por 15: \[ 45x - 30y = 6000 \quad \text{(3)} \] Sumamos (2) y (3): \[ 15x + 30y + 45x - 30y = 4000 + 6000 \] \[ 60x = 10000 \implies x = \frac{10000}{60} \approx 166.67 \] Sustituyendo \( x \) en (1): \[ 3(166.67) - 2y = 400 \] \[ 500 - 2y = 400