\begin{tabular}{|l|l|} 9) Uma lotação possui trés bancos para passageiros, cada um com três lugares, e \\ deve transportar os trees membros da familia SOUZA, o casal LÚCIA e MAURO e \\ mais quatro pessoas. Além disso, a familia SOUZA quer ocupar um mesmo \\ banco e LÚCIA e MAURO querem sentar-se lado a lado. Nessas condi,c"oes, o \\ número de maneiras de se dispor as nove pessoas na lotação é igual a: \end{tabular}

Para resolver o problema, vamos seguir os passos necessários para calcular o número de maneiras de dispor as nove pessoas na lotação, considerando as condições impostas. 1. **Identificar os grupos**: Temos a família SOUZA (3 pessoas) que deve ocupar um mesmo banco e LÚCIA e MAURO (2 pessoas) que querem sentar-se lado a lado. Assim, podemos considerar LÚCIA e MAURO como um único "bloco" ou "grupo" para facilitar a contagem. 2. **Contar os grupos**: - A família SOUZA ocupa um banco, e dentro desse banco, as 3 pessoas podem ser organizadas de \(3!\) maneiras. - O "bloco" LÚCIA e MAURO pode ser organizado de \(2!\) maneiras (LÚCIA à esquerda de MAURO ou MAURO à esquerda de LÚCIA). 3. **Distribuição dos bancos**: - Temos 3 bancos e a família SOUZA ocupa um deles. Portanto, restam 2 bancos para o "bloco" LÚCIA e MAURO e as outras 4 pessoas. - O "bloco" LÚCIA e MAURO pode ocupar um dos 2 bancos restantes, e as 4 pessoas restantes ocuparão o outro banco. 4. **Contar as combinações**: - Escolha do banco para a família SOUZA: 3 opções (banco 1, 2 ou 3). - Escolha do banco para o "bloco" LÚCIA e MAURO: 2 opções (um dos 2 bancos restantes). - As 4 pessoas restantes podem ser organizadas no banco que sobrou de \(4!\) maneiras. 5. **Cálculo total**: - O número total de maneiras de dispor as pessoas é dado por: \[ \text{Total} = \text{(Escolha do banco para SOUZA)} \times \text{(Escolha do banco para LÚCIA e MAURO)} \times \text{(Arranjos da família SOUZA)} \times \text{(Arranjos do bloco LÚCIA e MAURO)} \times \text{(Arranjos das 4 pessoas)} \] \[ \text{Total} = 3 \times 2 \times 3! \times 2! \times 4! \] 6. **Cálculo dos fatoriais**: - \(3! = 6\) - \(2! = 2\) - \(4! = 24\) 7. **Substituindo os valores**: \[ \text{Total} = 3 \times 2 \times 6 \times 2 \times 24 \] \[ = 3 \times 2 = 6 \] \[ = 6 \times 6 = 36 \] \[ = 36 \times 2 = 72 \] \[ = 72 \times 24 = 1728 \] Portanto, o número total de maneiras de dispor as nove pessoas na lotação, respeitando as condições dadas, é **1728**.