Turnbull Long
02/23/2023 · Senior High School
Aufgabe 4. Sei \( R \subset \mathbb{R}^{2} \) ein Rechteck. Zeige \[ m(R)=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N^{2}} \#\left(N R \cap \mathbb{Z}^{2}\right) . \]
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Um zu zeigen, dass \( m(R) = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N^{2}} \#\left(N R \cap \mathbb{Z}^{2}\right) \), betrachten wir das Maß eines Rechtecks \( R \) und die Anzahl der Gitterpunkte in \( N R \). Die Anzahl der Gitterpunkte in \( N R \) ist proportional zu \( N^2 \) mal dem Maß von \( R \). Wenn \( N \) groß wird, wird der Anteil der Gitterpunkte an \( N^2 \) immer näher an das Maß von \( R \) kommen. Daher ist der Grenzwert \( \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N^{2}} \#\left(N R \cap \mathbb{Z}^{2}\right) \) gleich dem Maß von \( R \).
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