UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER-OCAÑA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA TALLER DE CÁLCULO IiviTEGRAL ACTIVIDAD: Resuelva la siguiente integral aplicando la regla de Barrow y la suma de Riemann \( \int_{-2}^{4} 3 x-x(5 x-7)^{2} \mathrm{dx} \)

Para resolver la integral \(\int_{-2}^{4} (3x - x(5x - 7)^{2}) \, dx\) utilizando la regla de Barrow y la suma de Riemann, primero simplificaremos la función a integrar. ### Paso 1: Simplificar la función La función a integrar es: \[ f(x) = 3x - x(5x - 7)^{2} \] Primero, expandimos el término \( (5x - 7)^{2} \): \[ (5x - 7)^{2} = 25x^{2} - 70x + 49 \] Ahora, multiplicamos por \( -x \): \[ -x(5x - 7)^{2} = -x(25x^{2} - 70x + 49) = -25x^{3} + 70x^{2} - 49x \] Por lo tanto, la función se convierte en: \[ f(x) = 3x - ( -25x^{3} + 70x^{2} - 49x) = 3x + 25x^{3} - 70x^{2} + 49x \] Simplificando: \[ f(x) = 25x^{3} - 70x^{2} + 52x \] ### Paso 2: Calcular la integral Ahora, calculamos la integral: \[ \int_{-2}^{4} (25x^{3} - 70x^{2} + 52x) \, dx \] Calculamos la integral de cada término por separado: 1. \(\int 25x^{3} \, dx = \frac{25}{4} x^{4}\) 2. \(\int -70x^{2} \, dx = -\frac{70}{3} x^{3}\) 3. \(\int 52x \, dx = 26x^{2}\) Por lo tanto, la integral indefinida es: \[ \int (25x^{3} - 70x^{2} + 52x) \, dx = \frac{25}{4} x^{4} - \frac{70}{3} x^{3} + 26x^{2} + C \] ### Paso 3: Evaluar la integral definida Ahora evaluamos la integral definida de \(-2\) a \(4\): \[ \left[ \frac{25}{4} x^{4} - \frac{70}{3} x^{3} + 26x^{2} \right]_{-2}^{4} \] Calculamos en \(x = 4\): \[ \frac{25}{4}(4)^{4} - \frac{70}{3}(4)^{3} + 26(4)^{2} \] Calculamos cada término: 1. \(\frac{25}{4}(256) = 1600\) 2. \(-\frac{70}{3}(64) = -\frac{4480}{3}\) 3. \(26(16) = 416\) Sumando estos valores: \[ 1600 - \frac{4480}{3} + 416 = 2016 - \frac{4480}{3} \] Convertimos \(2016\) a tercios: \[ 2016 = \frac{6048}{3} \] Por lo tanto: \[ \frac{6048}{3} - \frac{4480}{3} = \frac{6048 - 4480}{3} = \frac{1568}{3} \] Ahora evaluamos en \(x = -2\): \[ \frac{25}{4}(-2)^{4} - \frac{70}{3}(-2)^{3} + 26(-2)^{2} \] Calculamos cada término: 1. \(\frac{25}{4}(16) = 100\) 2. \(-\frac{70}{3}(-8) = \frac{560}{3}\) 3. \(26(4) = 104\) Sumando estos valores: \[ 100 + \frac{560}{3} + 104 = 204 + \frac{560}{3} \] Convertimos \(204\) a tercios: \[ 204 = \frac{612}{3} \] Por lo tanto: \[ \frac{612}{3} + \frac{560}{3} = \frac{1172}{3} \] ### Paso 4: Restar los resultados