Sott \( P(x)=x^{3}-3 x+2 \) a) colculer \( P(1) \) b) Détermine le polynome tel que \( p(x)=(x-1) P(x) \)

Pour résoudre les questions posées, nous allons procéder étape par étape. ### a) Calculer \( P(1) \) Le polynôme est donné par : \[ P(x) = x^3 - 3x + 2 \] Pour calculer \( P(1) \), nous remplaçons \( x \) par 1 dans l'expression de \( P(x) \) : \[ P(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 \] Calculons chaque terme : \[ P(1) = 1 - 3 + 2 = 0 \] Donc, \( P(1) = 0 \). ### b) Déterminer le polynôme tel que \( p(x) = (x-1) P(x) \) Nous savons que \( P(x) = x^3 - 3x + 2 \). Pour trouver \( p(x) \), nous multiplions \( P(x) \) par \( (x-1) \) : \[ p(x) = (x-1)(x^3 - 3x + 2) \] Nous allons effectuer cette multiplication : 1. Multiplions \( x \) par chaque terme de \( P(x) \) : \[ x \cdot (x^3 - 3x + 2) = x^4 - 3x^2 + 2x \] 2. Multiplions \( -1 \) par chaque terme de \( P(x) \) : \[ -1 \cdot (x^3 - 3x + 2) = -x^3 + 3x - 2 \] 3. Additionnons les deux résultats : \[ p(x) = (x^4 - 3x^2 + 2x) + (-x^3 + 3x - 2) \] En combinant les termes semblables, nous obtenons : \[ p(x) = x^4 - x^3 - 3x^2 + (2x + 3x) - 2 \] \[ p(x) = x^4 - x^3 - 3x^2 + 5x - 2 \] Ainsi, le polynôme \( p(x) \) est : \[ p(x) = x^4 - x^3 - 3x^2 + 5x - 2 \]