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Algebra
Pregunta

\(3 \) Let \( u = ( 2 , - 2,8 ) \) and \( v = ( - ...

\(3 \) Let \( u = ( 2 , - 2,8 ) \) and \( v = ( - 1 , k , - 4 k ) \) be two vectors in \( R ^ { 3 } \) . i) Compute the value of \( k \) if \( u \) and \( v \) are orthogonal. ii) Find the angle(s) between \( u \) and \( v \) . 

Answer

i) \( \left. \begin{array} { l }{ \vec { k } \cdot \vec { v } = 2 \times ( - 1 ) + ( - 2 ) \times k + 8 \times ( - 4 k ) }\\{ = - 2 - 2 k - 32 k }\\{ = - 2 - 34 k }\\{ = 0 }\\{ k = - \frac { 1 } { 17 } } \end{array} \right.\) 

ii) \( \left. \begin{array} { l }{ \cos \theta = \frac {  \vec { k } \cdot \vec { v } } { | \vec { k } ) | \vec { v } | } }\\{ = \frac { - 2 - 34 k } { \sqrt { 4 + 4 + 64 } \times \sqrt { 1 + k ^ { 2 } + 16 k ^ { 2 } } } }\\{ = \frac { - 2 - 34 k } { 6 \sqrt { 2 } \sqrt { 1 + 17 k 2 } } }\\{ = - \frac { ( 1 + 17 k ) \sqrt { 2 + 34 k ^ { 2 } } } { 12 \times ( 1 + 17 k ^ { 2 } ) } } \end{array} \right.\) 

Solución
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